- •Потужність множини. Зчисленні та незчисленні множини. Їх властивості.
- •2.Поняття моделі. Поняття інформаційної моделі. Поняття математичної моделі.
- •Приклади лінійних просторів
- •2.Алгоритм. Способи опису алгоритмів. Словесна та графічна форми подання алгоритмів.
- •1. Похідна функції однієї змінної, її геометричний та механічний зміст. Основні правила диференціювання.
- •3. Похідна складної функції.
- •1. Диференційовані функції однієї змінної, критерій диференційованості. Диференціал в точці, його геометричний зміст, застосування до наближених обчислень.
- •2. Програма. Поняття мови програмування. Поняття про середовище програмування
- •1. . Основні теореми диференціального числення. Теорема Лагранжа. Умови сталості та монотонності функції.
- •2. . Трансляція та її види: інтерпретація, компіляція. Їх особливості. Поняття системи програмування.
- •1. Екстремум функції. Необхідні умови екстремуму. Достатні умови екстремуму.
- •1. Максимум і мінімум функції в точці.
- •2. Основні принципи технології структурного програмування. Метод покрокової деталізації.
- •1. Структурне програмування
- •1.1. Принцип модульності
- •1. Первісна функція та неозначений інтеграл. Інтегрування підстановкою та частинами.
- •2. Основні принципи технології об’єктно-орієнтованого програмування. Поняття про об’єкт (клас).
- •1. Означений інтеграл. Необхідна умова інтегровності. Критерій інтегровності. Інтегровність неперервної функції.
- •Стандартні функції мови с
- •Аргументи функції
- •1. Квадровні фігури. Застосування означеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.
- •2. Алгоритми обробки масивів. Алгоритм послідовного пошуку. Пошук максимального (мінімального) елемента. Масиви даних
- •Одновимірні масиви (вектори)
- •1. Спрямлювані криві та їх довжини. Теорема Жордана. Обчислення довжини кривої за допомогою означеного інтеграла.
- •1. Застосування визначеного інтеграла до обчислення об’ємів тіл обертання та площ поверхонь обертання.
- •Задача про перевезення (транспортна задача)
- •1. Додатні числові ряди, властивості збіжних рядів, критерій збіжності. Теореми про порівняння рядів. Ознака Даламбера та інтегральна ознака Коші.
- •2. Метод штучного базису відшукання початкового базисного розв’язку злп. М-метод розв’язування злп.
- •1) Методи відшукання початкового базисного розв’язку
- •2) Описання м-методу розв’язування злп.
- •1Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. Абсолютно і умовно збіжні ряди.
- •2. Двоїсті злп та їх властивості. Теореми двоїстості. Двоїстий симплекс-метод.
- •1. Функціональні послідовності і ряди. Збіжність, область збіжності. Рівномірна збіжність. Ознака Вейєрштраса.
- •2. Транспортна задача (тз). Властивості тз. Деякі методи відшукання початкового базисного розв’язку тз. Метод потенціалів розв’язування тз.
- •§2. Деякі властивості транспортної задачі.
- •§3. Базисні розв’язки транспортної задачі.
- •§4. Деякі методи відшукання базисного розв’язку транспортної задачі.
- •4.1. Метод північно-західного кута.
- •4.2. Метод мінімального елемента
- •§5. Метод потенціалів розв’язування транспортної задачі.
- •1. Метричні простори. Відкриті та замкнуті множини, їх властивості.
- •2. Потоки та мережі. Постановка задачі. Задача про найкоротший шлях. Метод Мінті. Задача про максимальний потік. Метод Форда-Фалкерсона.
- •3. Задача про максимальний потік. Метод Форда–Фалкерсона
- •1. Векторний добуток двох векторів, його властивості та застосування.
- •2. Поняття границі числової послідовності, її властивості. Теорема про границю монотонної числової послідовності. Теорема Больцано-Вейєрштраса
- •1.Еліпс, означення та канонічне рівняння. Дослідження форми еліпса за канонічним рівнянням.
- •Оптимальні чисті стратегії
- •§ 3. Оптимальні змішані стратегії
- •1. Означення детермінанта n-го порядку. Властивості детермінантів.
- •2. Правила суми і добутку. Розміщення, перестановки, комбінації (без повторень та з повтореннями).
- •2. Алгоритми обробки масивів. Сортування елементів масиву методом "бульбашки". Масиви даних
- •Одновимірні масиви (вектори)
- •1. Площини та прямі в просторі.
- •2. Теорема множення ймовірностей. Незалежність подій.
- •1. Поверхні другого порядку. Еліпсоїди, параболоїди, гіперболоїди, гіперболічний параболоїд.
- •Запишемо рівняння поверхні обертання, утвореної обертанням еліпса
- •Записуючи рівняння параболоїда обертання (6) у вигляді
- •На закінчення розглянемо
- •2. Формула повної ймовірності та формули Байєса.
- •1. Формула повної ймовірності та формули Байєса.
- •49.3. Матриця лінійного оператора. Приклади.
- •2. Опис рядків у мові програмування с. Операції над рядками, функції для обробки рядків Рядки
- •Функції обробки символів та рядків
- •Функції, що стосуються рядків, які розглядаються як послідовність байт.
- •Функції, що обробляють рядки
- •1. Множини та відношення. Основні види бінарних відношень. Розбиття множини на класи.
- •1. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку та рівняння Бернуллі.
- •Рівняння в повних диференціалах
- •2. . Канонічні (нормальні) форми булевих функцій. Алгебра Жегалкіна.
- •1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння n-го порядку із змінними коефіцієнтами. Фундаментальна система розв’язків. Детермінант Вронського. Загальний розв’язок.
- •2. Комбінаторні конфігурації. Біноміальна та поліноміальна теореми.
- •1. Розв’язування диференціальних рівнянь та їх систем.
- •2. Повнота і замкненість систем булевих функцій. Теорема (критерій) Поста.
- •1. Інтерполювання функцій многочленами Лагранжа.
- •Інтерполювання функцій многочленами Ньютона. Сплайни.
- •Скінченні різниці
- •Перша інтерполяційна формула Ньютона
- •Друга інтерполяційна формула Ньютона
- •1. Лінійна та нелінійна кореляція. Метод найменших квадратів. Побудова емпіричних формул.
- •2. . Опукле програмування. Функція Лагранжа. Теорема Куна-Таккера-1. Теорема Куна-Таккера-2. Задача опуклого квадратичного програмування. Квадратичний симплекс-метод. Задачі опуклого програмування.
- •Функція Лагранжа. Теореми Куна-Таккера.
1. Множини та відношення. Основні види бінарних відношень. Розбиття множини на класи.
Під множиною розуміють сукупність об’єктів довільної природи, які мають спільну властивість.
Об’єкти, з яких складається множина, називають її елементами. Якщо а є елементом множини А, то це символічно записують так: аА. Вираз аА (або ) означає, що а не є елементом множини А.
Множина вважається заданою, якщо про кожний об’єкт можна сказати, є він елементом цієї множини, чи ні. Задати множину можна двома способами: переліком елементів та за допомогою характеристичної властивості, яку мають всі елементи даної множини.
Множина, яка складається з обмеженого числа елементів, називається скінченною. Множина, яка не містить жодного елемента, називається порожньою і позначається символом .
Означення 1. Якщо кожен елемент множини А є елементом множини В, то говорять, що множина А включається в множину В, або множина В включає множину А, або А є підмножиною множини В і позначають АВ. Іноді використовують позначення АВ, наголошуючи тим самим на можливість співпадання (рівності) множин.
Означення 2. Множини А і В називаються рівними (записують А = В), якщо вони складаються з одних і тих же елементів, тобто множина А є підмножиною множини В, а В – підмножиною множини А.
Виходячи з означення підмножини, можна дати і таке означення рівності двох множин:
Означення 3. Множини А і В називаються рівними, якщо кожен елемент множини А є елементом множини В і навпаки, кожен елемент множини В є елементом множини А.
Звідси отримуємо правило встановлення рівності двох множин:
Для того щоб довести рівність двох множин А і В, потрібно взяти будь-який елемент з множини А і показати, що він належить множині В. Після цього взяти будь-який елемент з множини В і показати, що він належить множині А.
Встановлено, що для будь-якої n-елементної множини існує 2n різних підмножин. Множину всіх підмножин множини А називають булеаном множини А і позначають (А).
Існують множини, по відношенню до яких всі інші множини є підмножинами. Такі загальні множини називають універсальними і позначають буквою U.
Для множин можна ввести ряд операцій, результатом виконання яких також будуть множини.
Означення 4. Об’єднанням множин А і В (позначається AB) називається множина, яка складається з тих і тільки тих елементів, які належать хоча б одній з множин А чи В. Тобто AB={х| хА хВ}.
Означення 5. Перетином множин А і В (позначається AB) називається множина, яка складається з тих і тільки тих елементів, які належать множинам А і В одночасно. Тобто AB={х| хА хВ}.
Означення 6. Різницею множин А і В (позначається A\B) називається множина, яка складається з тих і тільки тих елементів, які належать множині А і не належать множині В. Тобто A\B={х| хА хВ}.
Означення 7. Симетричною різницею множин А і В (позначається A∆B) називається множина, яка складається з тих і тільки тих елементів, які належать множині А і не належать множині В, або належать множині В і не належать множині А. Тобто A∆B={х| (хА хВ)( хВ хА)}.
Означення 8. Доповненням множини А до універсальної множини U (позначається ) називається множина всіх елементів універсальної множини, які не належать множині А. Тобто ={х| х U хА}.
Неважко помітити, що = U \ А.
Для кращого розуміння операцій над множинами іноді користуються спеціальними геометричними схемами, які називаються діаграмами Ейлера-Венна.
Для визначення порядку дій над множинами в теоретико-множинних виразах вводять дужки. Якщо у виразі дужки відсутні, то операції виконуються в такій послідовності: доповнення, перетин, об’єднання, різниця, симетрична різниця.
Під впорядкованою парою (a, b) розуміють двохелементну множину {a, b}, про яку можна сказати, який елемент стоїть на першому місці, а який – на другому. При цьому елемент a називається першою компонентою впорядкованої пари, а елемент b – другою. Якщо (a, b) і (c, d) впорядковані пари, то (a, b) = (c, d) тоді і тільки тоді, коли а = с і b = d.
Аналогічно вводиться впорядкована трійка, четвірка і, взагалі, впорядкована n-ка, тобто впорядкована сукупність n елементів.
Означення 1. Прямим (декартовим) добутком множин А і В (позначається АВ) називають множину всеможливих впорядкованих пар (a, b), де аА, а bВ.
Тобто АВ = {( a, b) | аА bВ}.
Можна розглядати прямий добуток довільної скінченої сукупності множин. Якщо А = В, то АА називають декартовим квадратом множини А і позначають А2. Взагалі кажучи, декартовий добуток множини А на себе n разів, тобто множину АА...А, називають n-им декартовим (або прямим) степенем множини А і позначають Аn.
Означення 2. n-арним (n-місним) відношенням називається всяка підмножина прямого добутку n множин.
Найбільш часто зустрічаються та найбільш вивченими є бінарні (тобто двомісні) відношення. Тому надалі зоглядатимемо лише бінарні відношення.
Якщо елемент а перебуває у відношенні з елементом b, то це позначають так: (a, b), або a b.
b
Множина перших компонент називається областю визначення відношення, множина других – множиною значень.
Над відношеннями можна виконувати всі відомі теоретико-множинні операції: перетин, об’єднання і т.д. Крім того, для відношень можна означити ще дві операції – композицію та інверсію відношень.
Означення 3. Композицією відношень і називається відношення ◦ , елементами якого є пари (a, b), для кожної з яких існує такий елемент с, що (a,с) і (с,b) .
Означення 4. Відношення –1 називається оберненим (інверсним) до відношення , якщо (b, a) -1 тоді і тільки тоді, коли (a, b).
Розглянемо властивості, за якими класифікують відношення.
Означення 5. Відношення називається рефлексивним на множині А, якщо для будь-якого елементу аА пара (a, a).
Означення 6. Відношення називається антирефлексивним на множині А, якщо ні для якого елементу аА не виконується (a, a).
Означення 7. Відношення називається симетричним на множині А, якщо для всіх елементів a, bА таких, що (a, b), виконується (b, a).
Означення 8. Відношення називається антисиметричним на множині А, якщо для всіх елементів a, bА таких, що (a, b) і (b, a) виконується a = b.
Означення 9. Відношення називається транзитивним на множині А, якщо для будь-яких елементів a, b, сА з того, що (a, b) і (b, с) випливає, що (а, с).
Означення 10. Відношення називається зв’язним (досконалим) на множині А, якщо для будь- яких двох елементів a, bА таких, що a b має місце хоча б одне із співвідношень: (a, b) або (b, a).
Означення 11. Відношення , задане на множині А, називається відношенням еквівалентності, якщо воно рефлексивне, симетричне і транзитивне.
З відношенням еквівалентності тісно пов’язане поняття розбиття множини на класи.
Означення 12. Сукупність підмножин множини А називається розбиттям множини на класи, якщо ці підмножини непорожні, взаємно неперерізні і їх об’єднання співпадає з множиною А.
Означення 13. Класом еквівалентності, породженим елементом а, називається множина тих елементів з множини А, які перебувають у відношення еквівалентності з елементом а.
Символічно можна записати так: Ка = {х | хА і (х, а)}.
Теорема. Всяке відношення еквівалентності, задане на множині А, задає розбиття множини на класи і, навпаки, всяке розбиття множини на класи задає на цій множині відношення еквівалентності.
Доведення. І етап. Нехай на множині А задано відношення еквівалентності . Очевидно, що множина А не порожня. Тоді існує елемент, наприклад, аА. Побудуємо клас еквівалентності Ка. Може бути два випадки: Ка=А або КаА. В першому випадку теорема доведена, адже множина розбивається на один клас. В другому випадку, оскільки КаА і КаА, існує елемент b: bА і bКа.
Побудуємо клас еквівалентності Кb. КbА і Кb . Покажемо, що КаКb=. Припустимо супротивне. Тоді існує елемент c такий, що хКb i хКа. В силу означення класу еквівалентності одержимо (х,b) і (х,а) або (оскільки відношення еквівалентності симетричне) (b,х) і (х,а). В силу транзитивності відношення еквівалентності звідси отримуємо, що (b,а), тобто bКа, що суперечить вибору елемента b. Одержана суперечність доводить, що КаКb=.
Знову може бути два випадки: КаКb=А або КаКb А. В першому випадку теорема доведена. В другому випадку існує елемент с: сА, сКа, сКb. Побудуємо клас еквівалентності Кс і т.д. В кінці кінців побудуємо скінчену або нескінчену множину класів еквівалентності, які задають розбиття множини на класи.
Прикладом розбиття на скінчену множину класів є розбиття учнів на класи чи студентів на групи, а на нескінчену – розбиття множини прямих на площині за відношенням паралельності.
ІІ етап. Нехай задано розбиття множини А на класи. Задамо на множині відношення в такий спосіб: будемо вважати що два елементи перебувають у відношенні , якщо вони належать до одного і того ж класу. Очевидно, що таке відношення рефлексивне і симетричне. Якщо елемент b належить до того класу, що а і с елемент до того класу, що b , то елемент с належить до того класу, що а. Тому відношення транзитивне, отже і є відношенням еквівалентності. Теорема доведена.
Означення 14. Сукупність усіх класів еквівалентності за відношенням називається фактор-множиною множини А за відношенням і позначається А/.
Означення 15. Відношення , задане на множині А, називається відношенням порядку, якщо воно антисиметричне і транзитивне.
Якщо відношення порядку – рефлексивне, то його називають нестрогим порядком. Якщо ж відношення порядку – антирефлексивне, то це буде відношення строгого порядку. Відношення порядку називається лінійним, якщо воно зв’язне. Якщо ж відношення порядку незв’язне, то його називають відношенням часткового порядку.
Множина, на якій задано відношення порядку, називається впорядкованою. Залежно від типу відношення порядку вона може бути строго або нестрого впорядкованою, частково або лінійно впорядкованою.
Білет24