- •Потужність множини. Зчисленні та незчисленні множини. Їх властивості.
- •2.Поняття моделі. Поняття інформаційної моделі. Поняття математичної моделі.
- •Приклади лінійних просторів
- •2.Алгоритм. Способи опису алгоритмів. Словесна та графічна форми подання алгоритмів.
- •1. Похідна функції однієї змінної, її геометричний та механічний зміст. Основні правила диференціювання.
- •3. Похідна складної функції.
- •1. Диференційовані функції однієї змінної, критерій диференційованості. Диференціал в точці, його геометричний зміст, застосування до наближених обчислень.
- •2. Програма. Поняття мови програмування. Поняття про середовище програмування
- •1. . Основні теореми диференціального числення. Теорема Лагранжа. Умови сталості та монотонності функції.
- •2. . Трансляція та її види: інтерпретація, компіляція. Їх особливості. Поняття системи програмування.
- •1. Екстремум функції. Необхідні умови екстремуму. Достатні умови екстремуму.
- •1. Максимум і мінімум функції в точці.
- •2. Основні принципи технології структурного програмування. Метод покрокової деталізації.
- •1. Структурне програмування
- •1.1. Принцип модульності
- •1. Первісна функція та неозначений інтеграл. Інтегрування підстановкою та частинами.
- •2. Основні принципи технології об’єктно-орієнтованого програмування. Поняття про об’єкт (клас).
- •1. Означений інтеграл. Необхідна умова інтегровності. Критерій інтегровності. Інтегровність неперервної функції.
- •Стандартні функції мови с
- •Аргументи функції
- •1. Квадровні фігури. Застосування означеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.
- •2. Алгоритми обробки масивів. Алгоритм послідовного пошуку. Пошук максимального (мінімального) елемента. Масиви даних
- •Одновимірні масиви (вектори)
- •1. Спрямлювані криві та їх довжини. Теорема Жордана. Обчислення довжини кривої за допомогою означеного інтеграла.
- •1. Застосування визначеного інтеграла до обчислення об’ємів тіл обертання та площ поверхонь обертання.
- •Задача про перевезення (транспортна задача)
- •1. Додатні числові ряди, властивості збіжних рядів, критерій збіжності. Теореми про порівняння рядів. Ознака Даламбера та інтегральна ознака Коші.
- •2. Метод штучного базису відшукання початкового базисного розв’язку злп. М-метод розв’язування злп.
- •1) Методи відшукання початкового базисного розв’язку
- •2) Описання м-методу розв’язування злп.
- •1Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. Абсолютно і умовно збіжні ряди.
- •2. Двоїсті злп та їх властивості. Теореми двоїстості. Двоїстий симплекс-метод.
- •1. Функціональні послідовності і ряди. Збіжність, область збіжності. Рівномірна збіжність. Ознака Вейєрштраса.
- •2. Транспортна задача (тз). Властивості тз. Деякі методи відшукання початкового базисного розв’язку тз. Метод потенціалів розв’язування тз.
- •§2. Деякі властивості транспортної задачі.
- •§3. Базисні розв’язки транспортної задачі.
- •§4. Деякі методи відшукання базисного розв’язку транспортної задачі.
- •4.1. Метод північно-західного кута.
- •4.2. Метод мінімального елемента
- •§5. Метод потенціалів розв’язування транспортної задачі.
- •1. Метричні простори. Відкриті та замкнуті множини, їх властивості.
- •2. Потоки та мережі. Постановка задачі. Задача про найкоротший шлях. Метод Мінті. Задача про максимальний потік. Метод Форда-Фалкерсона.
- •3. Задача про максимальний потік. Метод Форда–Фалкерсона
- •1. Векторний добуток двох векторів, його властивості та застосування.
- •2. Поняття границі числової послідовності, її властивості. Теорема про границю монотонної числової послідовності. Теорема Больцано-Вейєрштраса
- •1.Еліпс, означення та канонічне рівняння. Дослідження форми еліпса за канонічним рівнянням.
- •Оптимальні чисті стратегії
- •§ 3. Оптимальні змішані стратегії
- •1. Означення детермінанта n-го порядку. Властивості детермінантів.
- •2. Правила суми і добутку. Розміщення, перестановки, комбінації (без повторень та з повтореннями).
- •2. Алгоритми обробки масивів. Сортування елементів масиву методом "бульбашки". Масиви даних
- •Одновимірні масиви (вектори)
- •1. Площини та прямі в просторі.
- •2. Теорема множення ймовірностей. Незалежність подій.
- •1. Поверхні другого порядку. Еліпсоїди, параболоїди, гіперболоїди, гіперболічний параболоїд.
- •Запишемо рівняння поверхні обертання, утвореної обертанням еліпса
- •Записуючи рівняння параболоїда обертання (6) у вигляді
- •На закінчення розглянемо
- •2. Формула повної ймовірності та формули Байєса.
- •1. Формула повної ймовірності та формули Байєса.
- •49.3. Матриця лінійного оператора. Приклади.
- •2. Опис рядків у мові програмування с. Операції над рядками, функції для обробки рядків Рядки
- •Функції обробки символів та рядків
- •Функції, що стосуються рядків, які розглядаються як послідовність байт.
- •Функції, що обробляють рядки
- •1. Множини та відношення. Основні види бінарних відношень. Розбиття множини на класи.
- •1. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку та рівняння Бернуллі.
- •Рівняння в повних диференціалах
- •2. . Канонічні (нормальні) форми булевих функцій. Алгебра Жегалкіна.
- •1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння n-го порядку із змінними коефіцієнтами. Фундаментальна система розв’язків. Детермінант Вронського. Загальний розв’язок.
- •2. Комбінаторні конфігурації. Біноміальна та поліноміальна теореми.
- •1. Розв’язування диференціальних рівнянь та їх систем.
- •2. Повнота і замкненість систем булевих функцій. Теорема (критерій) Поста.
- •1. Інтерполювання функцій многочленами Лагранжа.
- •Інтерполювання функцій многочленами Ньютона. Сплайни.
- •Скінченні різниці
- •Перша інтерполяційна формула Ньютона
- •Друга інтерполяційна формула Ньютона
- •1. Лінійна та нелінійна кореляція. Метод найменших квадратів. Побудова емпіричних формул.
- •2. . Опукле програмування. Функція Лагранжа. Теорема Куна-Таккера-1. Теорема Куна-Таккера-2. Задача опуклого квадратичного програмування. Квадратичний симплекс-метод. Задачі опуклого програмування.
- •Функція Лагранжа. Теореми Куна-Таккера.
1. Додатні числові ряди, властивості збіжних рядів, критерій збіжності. Теореми про порівняння рядів. Ознака Даламбера та інтегральна ознака Коші.
Нехай маємо числову послідовність виду u, uq, uq2,..., uqn-1,...
Таку послідовність, як відомо, називають нескінченною геометричною прогресією, а число q – знаменником прогресії.
Знайдемо суму Sn перших n членів прогресії. Таку суму можна знайти, бо в ній скінчене число доданків, а саме n, і вона дорівнює
Sn = u+uq+uq2+ . . . + uqn-1= , якщо q≠1,
Sn= nu, якщо q=1.
Означення. Границя Sn називається сумою нескінченної геометричної прогресії.
Знайдемо Sn. Для цього розглянемо такі випадки:
1) ׀q׀<1 : Sn= = ;
2) ׀q׀>1 : Sn= = ;
3) q=1 : Тоді Sn = nu= ;
4)q=-1 : Sn=0, якщо n парне число, і Sn= u, якщо n- непарне число. Границя Sn не існує.
Отже, нескінченна геометрична прогресія має суму тільки тоді, коли ׀q׀<1, тобто коли вона є спадною. У цьому випадку записують
u+uq+uq2+ . . . + uqn-1+ . . . = ;
Нехай маємо довільну числову послідовність a1, a2 , . . . , an, . . .
Вираз виду a1+ a2 + . . . + an+ . . . (1) називають числовим рядом, або просто рядом. Числа a1, a2 , . . . , an, ... називають членами ряду.
Для позначення ряду застосовують і такий символ:
= a1+ a2 + . . . + an+ . . .
Знайдемо суму перших n членів ряду Sn= a1+ a2 + . . . + an
Надаючи n значень 1,2,3 . . ., дістанемо таку числову послідовність:
S1= a1, S2= a1+ a2, S3= a1+ a2 + a3, . ., Sn= a1+ a2 + . . . + an, . . .
Числа S1, S2, S3 , . . ., , Sn, . . .називають частиними сумами ряду (1). Означення. Скінчена границя послідовності { Sn } частинних сум називається сумою числового ряду (1).
S= Sn.
a1+ a2 + . . . + an+ . . . = S.
Означення. Числовий ряд (1) називається збіжним, якщо існує скінченна границя послідовності частинних сум і розбіжним в протилежному випадку.
Розглянемо ряд u+uq+uq2+ . . . + uqn-1+ . . .
Цей ряд називається ще геометричним, а число q- знаменником ряду. Отже, при ׀q׀<1 геометричний ряд є збіжним, а при ׀q׀≥1 – розбіжним.
Додатні ряди. Ознаки збіжності
Числовий ряд = a1+ a2 + . . . + an+ . . . , (1) в якого всі члени є невід’ємні числа (an ≥ 0, n=1,2, . . . ), називають додатнім рядом.
Як і раніше, позначимо через Sn ( n=1,2, . . .) частині суми додатного ряду (1). Тоді, оскільки Sn+1= Sn + an+1 ≥ Sn ( n=1,2, . . .),
то послідовність { Sn }є неспадною. Така послідовність, згідно з теоремою про існування границі монотонної послідовності, збігається, якщо вона обмежена зверху, і розбігається, якщо вона не обмежена зверху.
Теорема 1. Для того, щоб додатній ряд (1) збігався, необхідно і достатньо, щоб послідовність його частинних сум { Sn } була обмеженою зверху.
Теорема 2. (ознака порівняння). Якщо члени додатних рядів
= a1+ a2 + . . . + an+ . . . , (А)
= b1+ b2 + . . . + bn+ . . . , (В)
починаючи з певного значення n, і для всіх наступних його значень (при n>N ) задовольняють нерівності an ≤ bn ,
то із збіжності ряду (В) випливає збіжність ряду (А), а із розбіжності ряду (А), випливає розбіжність ряду (В).
Доведення: Не зменшуючи загальності, можна вважати, що нерівності an ≤ bn виконуються для всіх n=1,2, . . .. Позначимо частинні суми ряду (А) через Sn , а частинні суми ряду (В) через Sn’ . Тоді справджуються нерівності
Sn ≤ Sn’ .
10. Нехай ряд (В) збігається. Тоді послідовність { Sn’ }, згідно з попередньою теоремою, обмежена зверху
Sn’ < M, n=1,2, . . .
Проте тоді й Sn < M, n=1,2, . . .
Звідси і з попередньої теореми випливає, що ряд (А) збігається.
20. Нехай ряд (А) розбігається. Тоді й ряд (В) розбігається, бо якби останній збігався, то за доведеним вище і ряд (А) збігався б. Теорему доведено.
Теорема 3. (ознака д’Аламбера). Якщо в ряді (1) an > 0 і існує границя = r, то при r<1 ряд (1) збігається, а при r>1 ряд (1) розбігається.
Доведення: Розглянемо випадок, коли r<1. Випадок, коли r>1, доводиться аналогічно.
Візьмемо число q таке, щоб r < q < 1. Тоді існує натуральне число N таке, що при всіх n > N виконується нерівність
< q, або аn+1< an q, n > N.
Надаючи n значень N + 1,N + 2, . . . , матимемо такі нерівності:
aN+2 < aN+1 q, aN+3 < aN+1 q2, aN+4 < aN+1 q3, . . ., aN+k < aN+1 qk-1, . . .
Помічаємо, що члени числового додатного ряду (1), починаючи з N + 2, менші за відповідні члени ряду qк.
Останній ряд є збіжний як ряд, що є добутком числа aN+1 і збіжного геометричного ряду. Тому і ряд (1) є збіжним.
Теорему доведено.
Теорема 4. (ознака Коші). Якщо в додатному ряді (1) існує границя
= k , (2)
то при k<1 ряд (1) збігається, а при k >1 ряд (1) розбігається.
Доведення: Розглянемо випадок, коли k<1. Випадок, коли k >1, доводиться аналогічно. Візьмемо число q таке, щоб справджувалися нерівності k < q < 1. Тоді існує число N таке, що при n > N виконуватиметься нерівність < q, або аn< qn, n > N.
Отже, члени ряду (1), починаючи з aN+1, менші за відповідні члени збіжного геометричного ряду , в якого знаменник q < 1. Тому й ряд (1) за ознакою порівняння є збіжним.
Теорему доведено.
Коли границя (2) існує і дорівнює 1, за ознакою Коші, як і за ознакою д’Аламбера, не можна встановити збіжність (розбіжність) ряду.
Теорема 5. (Інтегральна ознака Коші).
Якщо функція f(x) визначена в проміжку 1≤ х ≤ + і при х ≥ а ≥ 1 неперервна, додатна і спадна, то для того, щоб збігався числовий ряд
=f(1)+ f(2)+ . . . +f(n)+ . . . , (3)
Необхідно і достатньо, щоб збігався невласний інтеграл (4)
Доведення: Розглянемо натуральні числа k, k+1, . . . ,k+n, . . . , де k ≥ a. Тоді на відрізку [k,k+1] функція, згідно з теоремою, спадає. Тому для x [k,k+1] справджуються нерівності
f(k+1) ≤ f(x) ≤ f(k).
Внаслідок відомої властивості визначеного інтеграла виконуються нерівності
≤ ≤ , або f(k+1) ≤ ≤ f(k)
Ці нерівності справедливі для будь–якого k = n, n+1, . . . , n+m, . . . Тому, надаючи k значень n, n+1, . . . , n+m, матимемо f(n+1) ≤ ≤ f(n), f(n+2) ≤ ≤ f(n+1), . . ., f(n+m+1) ≤ ≤ f(n+m).
Додамо почленно ці нерівності:
f(n+1) + f(n+2) + f(n+3) + . . .+ f(n+m+1) ≤ ≤
≤ f(n) + f(n+1) + . . . + f(n+m). (5)
З нерівностей (5) і випливає справедливість теореми.
Нехай невласний інтеграл (4) збігається. Тоді через те, що f(x) додатна при x ≥ a , < . Проте тоді
f(n+1)+f(n+2) + . . . + f(n+1+m) < .
У лівій частині останньої нерівності є m-та частинна сума n-го залишку ряду (3). Отже, ряд, що є n-м залишком ряду (3), збігається. Тому і ряд (3) збігається.
Нехай невласний інтеграл (4) розбігається. Тоді й ряд (3) розбігається. Припустимо супротивне. Нехай ряд (3) збігається. Тоді збігається й будь-який ряд, що є залишком ряду (3), зокрема ряд
f(n) + f(n+1) + . . . + f(n+m) + . . .
Послідовність частинних сум {Sm} цього ряду є обмеженою зверху, тобто Sm = f(n) + f(n+1) + . . . + f(n+m) < М.
Проте, згідно з нерівністю (5), < М.
Оскільки, f(x) > 0, то інтеграл при зростанні m монотонно зростає і є обмеженим зверху. Отже, існує границя
.
Це означає, що невласний інтеграл (4) збігається, а ми припустили, що він розбігається. Отже, зайшли у суперечність.
Теорему доведено
Таким чином, ряд (3) і невласний інтеграл одночасно збігаються або розбігаються.