- •Потужність множини. Зчисленні та незчисленні множини. Їх властивості.
- •2.Поняття моделі. Поняття інформаційної моделі. Поняття математичної моделі.
- •Приклади лінійних просторів
- •2.Алгоритм. Способи опису алгоритмів. Словесна та графічна форми подання алгоритмів.
- •1. Похідна функції однієї змінної, її геометричний та механічний зміст. Основні правила диференціювання.
- •3. Похідна складної функції.
- •1. Диференційовані функції однієї змінної, критерій диференційованості. Диференціал в точці, його геометричний зміст, застосування до наближених обчислень.
- •2. Програма. Поняття мови програмування. Поняття про середовище програмування
- •1. . Основні теореми диференціального числення. Теорема Лагранжа. Умови сталості та монотонності функції.
- •2. . Трансляція та її види: інтерпретація, компіляція. Їх особливості. Поняття системи програмування.
- •1. Екстремум функції. Необхідні умови екстремуму. Достатні умови екстремуму.
- •1. Максимум і мінімум функції в точці.
- •2. Основні принципи технології структурного програмування. Метод покрокової деталізації.
- •1. Структурне програмування
- •1.1. Принцип модульності
- •1. Первісна функція та неозначений інтеграл. Інтегрування підстановкою та частинами.
- •2. Основні принципи технології об’єктно-орієнтованого програмування. Поняття про об’єкт (клас).
- •1. Означений інтеграл. Необхідна умова інтегровності. Критерій інтегровності. Інтегровність неперервної функції.
- •Стандартні функції мови с
- •Аргументи функції
- •1. Квадровні фігури. Застосування означеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.
- •2. Алгоритми обробки масивів. Алгоритм послідовного пошуку. Пошук максимального (мінімального) елемента. Масиви даних
- •Одновимірні масиви (вектори)
- •1. Спрямлювані криві та їх довжини. Теорема Жордана. Обчислення довжини кривої за допомогою означеного інтеграла.
- •1. Застосування визначеного інтеграла до обчислення об’ємів тіл обертання та площ поверхонь обертання.
- •Задача про перевезення (транспортна задача)
- •1. Додатні числові ряди, властивості збіжних рядів, критерій збіжності. Теореми про порівняння рядів. Ознака Даламбера та інтегральна ознака Коші.
- •2. Метод штучного базису відшукання початкового базисного розв’язку злп. М-метод розв’язування злп.
- •1) Методи відшукання початкового базисного розв’язку
- •2) Описання м-методу розв’язування злп.
- •1Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. Абсолютно і умовно збіжні ряди.
- •2. Двоїсті злп та їх властивості. Теореми двоїстості. Двоїстий симплекс-метод.
- •1. Функціональні послідовності і ряди. Збіжність, область збіжності. Рівномірна збіжність. Ознака Вейєрштраса.
- •2. Транспортна задача (тз). Властивості тз. Деякі методи відшукання початкового базисного розв’язку тз. Метод потенціалів розв’язування тз.
- •§2. Деякі властивості транспортної задачі.
- •§3. Базисні розв’язки транспортної задачі.
- •§4. Деякі методи відшукання базисного розв’язку транспортної задачі.
- •4.1. Метод північно-західного кута.
- •4.2. Метод мінімального елемента
- •§5. Метод потенціалів розв’язування транспортної задачі.
- •1. Метричні простори. Відкриті та замкнуті множини, їх властивості.
- •2. Потоки та мережі. Постановка задачі. Задача про найкоротший шлях. Метод Мінті. Задача про максимальний потік. Метод Форда-Фалкерсона.
- •3. Задача про максимальний потік. Метод Форда–Фалкерсона
- •1. Векторний добуток двох векторів, його властивості та застосування.
- •2. Поняття границі числової послідовності, її властивості. Теорема про границю монотонної числової послідовності. Теорема Больцано-Вейєрштраса
- •1.Еліпс, означення та канонічне рівняння. Дослідження форми еліпса за канонічним рівнянням.
- •Оптимальні чисті стратегії
- •§ 3. Оптимальні змішані стратегії
- •1. Означення детермінанта n-го порядку. Властивості детермінантів.
- •2. Правила суми і добутку. Розміщення, перестановки, комбінації (без повторень та з повтореннями).
- •2. Алгоритми обробки масивів. Сортування елементів масиву методом "бульбашки". Масиви даних
- •Одновимірні масиви (вектори)
- •1. Площини та прямі в просторі.
- •2. Теорема множення ймовірностей. Незалежність подій.
- •1. Поверхні другого порядку. Еліпсоїди, параболоїди, гіперболоїди, гіперболічний параболоїд.
- •Запишемо рівняння поверхні обертання, утвореної обертанням еліпса
- •Записуючи рівняння параболоїда обертання (6) у вигляді
- •На закінчення розглянемо
- •2. Формула повної ймовірності та формули Байєса.
- •1. Формула повної ймовірності та формули Байєса.
- •49.3. Матриця лінійного оператора. Приклади.
- •2. Опис рядків у мові програмування с. Операції над рядками, функції для обробки рядків Рядки
- •Функції обробки символів та рядків
- •Функції, що стосуються рядків, які розглядаються як послідовність байт.
- •Функції, що обробляють рядки
- •1. Множини та відношення. Основні види бінарних відношень. Розбиття множини на класи.
- •1. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку та рівняння Бернуллі.
- •Рівняння в повних диференціалах
- •2. . Канонічні (нормальні) форми булевих функцій. Алгебра Жегалкіна.
- •1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння n-го порядку із змінними коефіцієнтами. Фундаментальна система розв’язків. Детермінант Вронського. Загальний розв’язок.
- •2. Комбінаторні конфігурації. Біноміальна та поліноміальна теореми.
- •1. Розв’язування диференціальних рівнянь та їх систем.
- •2. Повнота і замкненість систем булевих функцій. Теорема (критерій) Поста.
- •1. Інтерполювання функцій многочленами Лагранжа.
- •Інтерполювання функцій многочленами Ньютона. Сплайни.
- •Скінченні різниці
- •Перша інтерполяційна формула Ньютона
- •Друга інтерполяційна формула Ньютона
- •1. Лінійна та нелінійна кореляція. Метод найменших квадратів. Побудова емпіричних формул.
- •2. . Опукле програмування. Функція Лагранжа. Теорема Куна-Таккера-1. Теорема Куна-Таккера-2. Задача опуклого квадратичного програмування. Квадратичний симплекс-метод. Задачі опуклого програмування.
- •Функція Лагранжа. Теореми Куна-Таккера.
2. Потоки та мережі. Постановка задачі. Задача про найкоротший шлях. Метод Мінті. Задача про максимальний потік. Метод Форда-Фалкерсона.
Орієнтований граф — впорядкована пара множин (I,U), де I — непорожня множина вершин графа, що позначаються натуральними числами (I N), U — множина впорядкованих пар (i,j), що називаються дугами, та (i,j) I x I.
Вершина i дуги (i,j) називається її початком, а j — її кінцем.
Геометрично орієнтований граф зображується точками (множина вершин I) та лініями зі стрiлками (множина дуг U), що з'єднують деякі пари цих точок. На рис. 1 зображено граф g=(I,U), для якого I={1,2,3,4,5}, U={(1,3),(1,2),(2,1),(5,2),(4,5),(4,3)}
рис. 1.1
Шляхом орієнтованого графа g називається послідовність його дуг {u1, u2, … um}, для якої початок кожної наступної дуги, починаючи з другої, співпадає з кінцем попередньої дуги. Наприклад, на рис.1.1 шляхом є послідовність дуг {(4,5),(5,2)}.
Контуром орієнтованого графа g називається шлях графа {u1, u2, … um}, для якого кінець останньої дуги співпадає із початком першої дуги. Наприклад, на рис.1.1 шляхом є послідовність дуг {(1,2),(2,1)}.
Неорієнтований граф — впорядкована пара множин (I,U), де I — непорожня множина вершин графа, що позначаються натуральними числами (I N), U — множина невпорядкованих пар (i,j), що називаються ребрами, та (i,j) I x I.
Геометрично неорієнтований граф зображується точками (множина вершин I) та лініями (множина дуг U), що з'єднують деякі пари цих точок. На рис. 1.2 зображено граф g=(I,U), для якого I={1,2,3,4,5}, U={(1,3),(1,2),(2,5),(4,5),(3,4)}
2
рис. 1.2
Ланцюг неорієнтованого графа — послідовність його ребер {u1, u2, … um}, для якої одна вершина кожного наступного ребра, починаючи з другого, є вершиною попереднього, а інша вершина є вершиною наступного ребра. Наприклад, на рис.1.2 ланцюгом є послідовність ребер {(1,3),(4,3)}.
Цикл неорієнтованого графа — називається ланцюг {u1, u2, … um}, для якого u1=um. Наприклад, на рис.1.2 циклом є ланцюг {(1,3),(3,4),(5,4),(2,5),(2,1)}.
Розглядатимемо орієнтовані графи.
Мережею називається граф, елементам якого поставлені у відповідність деякі параметри. Елементами графа вважаються його вершини, дуги.
Побудуємо мережу таким чином:
кожній вершині iI поставимо у відповідність число di, що називається її інтенсивністю. Вершина i називається джерелом, якщо di>0, і стоком, якщо di<0, i нейтральною, якщо di=0;
кожній дузі (i,j)U поставимо у відповідність числа rij та cij, що називаються, відповідно, пропускною спроможністю та собівартістю.
Потоком в одержаній мережі називається сукупність величин xij, (i,j)U, що задовольняють умовам:
Нехай V⊂I.
Пропускною спроможністю розрізу U(V) називається величина
Теорема 1.1 Для того, щоб на мережі існував потік x = {xij, (i,j)∈U}, необхідно i достатньо, щоб d(I)=0 i для довільної множини V⊂I виконувалась умова d(V)≤r(V), де
(1.3)
Кожному потоку x = {xij, (i,j)∈U} поставимо у відповідність цільову функцію
(1.4)
Лiнiйна задача на мережі (або задача про оптимальний потік на мережі) полягає у пошуку допустимого потоку x на мережі, що мiнiмiзує цільову функцію L(x), тобто
(1.5)
Допустимий потік x називається оптимальним, якщо він доставляє мінімальне значення функції L(x).
Задача про найкоротший шлях. Метод Мінті
Нехай маємо де–яку мережу g=(I,U), , — довжина дуги (собівартість перевезення одиниці продукту по дузі).
Розглянемо також дві фіксовані вершини i1, is графа g та довільний шлях, що з'єднує i1 та is:
l(i1,is)=((i1,i2),(i2,i3),...,(is-1,is))=(u1,u2,u3,...,us-1), де it I, t={1,..,s}.
Тоді собівартість перевезення даним шляхом визначається як
Задача про найкоротший шлях (про вибір найбільш економного шляху) полягає в пошуку шляху (u1,u2,u3,...,us-1), що мiнiмiзує . Шуканий шлях називається найкоротшим (оптимальним).
Метод Мiнтi
Крок 1. Позначається вершина i1 (коренева вершина) позначкою =0, I(1) = {i1} — множина позначених вершин.
Крок (r+1). Розглянемо множину J(r)={...,iµ,...} непозначених вершин iµ: (iλ,iµ)U, iλI(r), iµJ(r), I(r)∩J(r)=. Для кожної з таких дуг (iλ,iµ) знаходимо суму
hiλ+ciλiµ,
виділяємо ті дуги, для яких ця сума мінімальна. При цьому з декількох дуг, що підлягають виділенню i закінчуються в одній i тій же вершині, виділяється лише одна.
Позначаємо кінці виділених дуг числом, що дорівнює мінімальному значенню hiλ+ciλiµ. За рахунок позначених вершин множина I(r) розширюється до множини I(r+1).
Вказаний процес продовжується до тих пір, поки серед позначених не з'явиться вершина is, або подальше позначення неможливе.
Рис. 2.3
Крок 3. Розглядаються дуги
(1,2) : h1 + c12 = 3,
(3,2) : h3 + c32 = 3,
(3,5) : h3 + c35 = 5.
Мiнiмальна з підрахованих величин відповідає дугам (1,2), (3,2). Видiлимо дугу (1,2), h2 = 3, I(3) = {1,2,3}.
Крок 4. Розглядаються дуги
(2,5) : h2 + c25 = 4,
(2,8) : h2 + c28 = 4,
(3,5) : h3 + c35 = 5.
Видiляємо дуги (2,5), (2,8), h5=4, h8=4, I(4)={1,2,3,5,8}.
Крок 5. Розглядаються дуги
(5,6) : h5 + c56 = 5,
(8,7) : h8 + c87 = 5.
Видiляємо дуги (5,6), (8,7), h6 = 5, h7 = 5, I(5) = {1,2,3,5,6,7,8}.
Найкоротший шлях з вершини 1 у вершину 6 — це шлях l*(1,6) = (1,2,5,6). Знаходиться він переглядом виділених дуг від вершини 6 до вершини 1. При цьому C(l*(1,6)) = h6 = 5.