- •Потужність множини. Зчисленні та незчисленні множини. Їх властивості.
- •2.Поняття моделі. Поняття інформаційної моделі. Поняття математичної моделі.
- •Приклади лінійних просторів
- •2.Алгоритм. Способи опису алгоритмів. Словесна та графічна форми подання алгоритмів.
- •1. Похідна функції однієї змінної, її геометричний та механічний зміст. Основні правила диференціювання.
- •3. Похідна складної функції.
- •1. Диференційовані функції однієї змінної, критерій диференційованості. Диференціал в точці, його геометричний зміст, застосування до наближених обчислень.
- •2. Програма. Поняття мови програмування. Поняття про середовище програмування
- •1. . Основні теореми диференціального числення. Теорема Лагранжа. Умови сталості та монотонності функції.
- •2. . Трансляція та її види: інтерпретація, компіляція. Їх особливості. Поняття системи програмування.
- •1. Екстремум функції. Необхідні умови екстремуму. Достатні умови екстремуму.
- •1. Максимум і мінімум функції в точці.
- •2. Основні принципи технології структурного програмування. Метод покрокової деталізації.
- •1. Структурне програмування
- •1.1. Принцип модульності
- •1. Первісна функція та неозначений інтеграл. Інтегрування підстановкою та частинами.
- •2. Основні принципи технології об’єктно-орієнтованого програмування. Поняття про об’єкт (клас).
- •1. Означений інтеграл. Необхідна умова інтегровності. Критерій інтегровності. Інтегровність неперервної функції.
- •Стандартні функції мови с
- •Аргументи функції
- •1. Квадровні фігури. Застосування означеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.
- •2. Алгоритми обробки масивів. Алгоритм послідовного пошуку. Пошук максимального (мінімального) елемента. Масиви даних
- •Одновимірні масиви (вектори)
- •1. Спрямлювані криві та їх довжини. Теорема Жордана. Обчислення довжини кривої за допомогою означеного інтеграла.
- •1. Застосування визначеного інтеграла до обчислення об’ємів тіл обертання та площ поверхонь обертання.
- •Задача про перевезення (транспортна задача)
- •1. Додатні числові ряди, властивості збіжних рядів, критерій збіжності. Теореми про порівняння рядів. Ознака Даламбера та інтегральна ознака Коші.
- •2. Метод штучного базису відшукання початкового базисного розв’язку злп. М-метод розв’язування злп.
- •1) Методи відшукання початкового базисного розв’язку
- •2) Описання м-методу розв’язування злп.
- •1Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. Абсолютно і умовно збіжні ряди.
- •2. Двоїсті злп та їх властивості. Теореми двоїстості. Двоїстий симплекс-метод.
- •1. Функціональні послідовності і ряди. Збіжність, область збіжності. Рівномірна збіжність. Ознака Вейєрштраса.
- •2. Транспортна задача (тз). Властивості тз. Деякі методи відшукання початкового базисного розв’язку тз. Метод потенціалів розв’язування тз.
- •§2. Деякі властивості транспортної задачі.
- •§3. Базисні розв’язки транспортної задачі.
- •§4. Деякі методи відшукання базисного розв’язку транспортної задачі.
- •4.1. Метод північно-західного кута.
- •4.2. Метод мінімального елемента
- •§5. Метод потенціалів розв’язування транспортної задачі.
- •1. Метричні простори. Відкриті та замкнуті множини, їх властивості.
- •2. Потоки та мережі. Постановка задачі. Задача про найкоротший шлях. Метод Мінті. Задача про максимальний потік. Метод Форда-Фалкерсона.
- •3. Задача про максимальний потік. Метод Форда–Фалкерсона
- •1. Векторний добуток двох векторів, його властивості та застосування.
- •2. Поняття границі числової послідовності, її властивості. Теорема про границю монотонної числової послідовності. Теорема Больцано-Вейєрштраса
- •1.Еліпс, означення та канонічне рівняння. Дослідження форми еліпса за канонічним рівнянням.
- •Оптимальні чисті стратегії
- •§ 3. Оптимальні змішані стратегії
- •1. Означення детермінанта n-го порядку. Властивості детермінантів.
- •2. Правила суми і добутку. Розміщення, перестановки, комбінації (без повторень та з повтореннями).
- •2. Алгоритми обробки масивів. Сортування елементів масиву методом "бульбашки". Масиви даних
- •Одновимірні масиви (вектори)
- •1. Площини та прямі в просторі.
- •2. Теорема множення ймовірностей. Незалежність подій.
- •1. Поверхні другого порядку. Еліпсоїди, параболоїди, гіперболоїди, гіперболічний параболоїд.
- •Запишемо рівняння поверхні обертання, утвореної обертанням еліпса
- •Записуючи рівняння параболоїда обертання (6) у вигляді
- •На закінчення розглянемо
- •2. Формула повної ймовірності та формули Байєса.
- •1. Формула повної ймовірності та формули Байєса.
- •49.3. Матриця лінійного оператора. Приклади.
- •2. Опис рядків у мові програмування с. Операції над рядками, функції для обробки рядків Рядки
- •Функції обробки символів та рядків
- •Функції, що стосуються рядків, які розглядаються як послідовність байт.
- •Функції, що обробляють рядки
- •1. Множини та відношення. Основні види бінарних відношень. Розбиття множини на класи.
- •1. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку та рівняння Бернуллі.
- •Рівняння в повних диференціалах
- •2. . Канонічні (нормальні) форми булевих функцій. Алгебра Жегалкіна.
- •1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння n-го порядку із змінними коефіцієнтами. Фундаментальна система розв’язків. Детермінант Вронського. Загальний розв’язок.
- •2. Комбінаторні конфігурації. Біноміальна та поліноміальна теореми.
- •1. Розв’язування диференціальних рівнянь та їх систем.
- •2. Повнота і замкненість систем булевих функцій. Теорема (критерій) Поста.
- •1. Інтерполювання функцій многочленами Лагранжа.
- •Інтерполювання функцій многочленами Ньютона. Сплайни.
- •Скінченні різниці
- •Перша інтерполяційна формула Ньютона
- •Друга інтерполяційна формула Ньютона
- •1. Лінійна та нелінійна кореляція. Метод найменших квадратів. Побудова емпіричних формул.
- •2. . Опукле програмування. Функція Лагранжа. Теорема Куна-Таккера-1. Теорема Куна-Таккера-2. Задача опуклого квадратичного програмування. Квадратичний симплекс-метод. Задачі опуклого програмування.
- •Функція Лагранжа. Теореми Куна-Таккера.
1. Квадровні фігури. Застосування означеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.
Розглянемо можливі багатокутні фігури Р, які цілком містяться в F, і багатокутні фігури Q, які цілком містять F. Фігури Р будемо називати вписаними, фігури Q – описаними. Числова множина {μ(P)} площ всіх вписаних багатокутних фігур Р обмежених зверху (наприклад, площею будь-якою описаною багатокутною фігурою Q). Числова множина {μ(Q)} площ всіх описаних навколо фігури F багатокутних фігур Q обмежено знизу (наприклад, нулем). Тому існує точна верхня грань
(10.24)
площ всіх багатокутних фігур, вписаних в фігуру F, і точна нижня грань
(10.25)
площ всіх багатокутних фігур, описаних навколо F.
Величину називають нижньою площею фігури F, а – верхньою площею цієї фігури. Із того, що площа будь-якої вписаної фігури не більша, ніж площа будь-якої описаної фігури, випливає, що
Означення 1. Плоска фігура F називається квадровною (чи має площу), якщо верхня площа цієї фігури співпадає з її нижньою площею . При цьому число називається площею фігури F.
Теорема 10.2'. Для квадровної плоскої фігури F необхідно і достатньо, щоб для будь-якого ε>0 знайшлась така описана навколо F багатокутна фігура Q і така вписана в F багатокутна фігура Р, для яких
(10.26)
Доведення. Необхідність. Нехай фігура F квадровна, тобто . За означенням точних граней і для будь-якого фіксованого нами ε>0 знайдуться вписана багатокутна фігура Р і описана багатокутна фігура Q такі, що
=> .
Достатність. Нехай для будь-якого ε>0 існують багатокутні фігури Q і P, вказані в формулюванні теореми. Тоді із рівності і з співвідношень , отримаємо, що
Оскільки ε – довільне додатне число, то із умови випливає, що , тобто доведено, що фігура F квадровна.
Теорема 10.2. Для квадровної плоскої фігури F необхідно і достатньо, щоб для будь-якого ε>0 знайшлась така квадровна плоска фігура Q, яка містить F і така квадровна плоска фігура Р, яка міститься в F, для яких
Площа криволінійної трапеції і криволінійного сектора
Рис.49
назвали спільну границю, (якщо вона існує) сум (2) і (3), які дорівнюють відповідно площам фігур R(1)(T) і R(2)(T) (рис. 49), перша з яких цілком міститься в криволінійній трапеції аАВb, а друга сама цілком містить у собі цю трапецію. Покажемо що суми і мають спільну границю, тобто криволінійна трапеція аАВbмає площу і що ця площа S означається за формулою: (1)
Дійсно, криволінійну трапецію аАВb зверху обмежує графік неперервної функції у=f(x). Але функція, неперервна на відрізку [a;b], внаслідок теореми (Всяка функція, неперервна на відрізку, інтегрована за Ріманом на цьому відрізку) інтегровна на цьому відрізку. Тому суми (2), (3), що є інтегрованими сумами, складеними для функції f(x) і (Т)-розбиття відрізка [a;b], при прямують до однієї й тієї ж границі . Таким чином, площа криволінійної трапеції аАВb (рис. 49) обчислюється за формулою (1).
Нехай крива АВ (рис. 53) в полярній системі координат задана рівнянням , де – невід’ємна неперервна функція на відрізку [α;β] (0≤α<β≤2π). Фігура, обмежена кривою АВ і променями і , називається криволінійним сектором. Якщо крива АВ є дуга кола радіуса ρ з центром на початку координат, то криволінійний сектор буде круговим сектором. Означимо поняття площі криволінійного сектора і знайдемо формулу, за допомогою якої можна обчислити площу.
Для цього візьмемо довільне (Т)-розбиття відрізка [α; β]:
(Т) (2) і з початку координат проведемо промені [ОА0), [ОА1), [ОА2),... , [ОАк), [ОАк+1), ..., [ОАn), нахилені до додатного напряму осі Ох під кутами, що відповідно дорівнюють (рис. 53). Ці промені розіб’ють криволінійний сектор ОАВО на n криволінійних секторів ОАкАк+1О (к=0, 1, 2, ..., n-1).
Оскільки функція неперервна на відрізку [φk; φk+1], то на цьому відрізку вона має найменше і найбільше значення. Позначимо через
.
Проведемо дуги кіл з центром на початку координат радіусами mk і Мk до перетину з променями [ОАк) і [ОАк+1) (к=0,1,2, ..., n-1). Точки перетину кола радіуса mk з променями [ОАк) і [ОАк+1) позначимо відповідно через А′к і А′к+1, а точки перетину кола радіуса Мk з цими променями – відповідно через А′′к і А′′к+1. Ми дістали колові сектори ОА′кА′к+1О і ОА′′кА′′к+1О, перший з яких цілком міститься в криволінійному секторі ОАкАк+1О, а другий сам цілком містить у собі цей криволінійний сектор. Таким чином фігура R(1)(T), що складається з n колових секторів ОА′кА′к+1О (к=0, 1, 2, ..., n-1), цілком міститься в криволінійному секторі ОАВО, а фігура R(2)(T), яка складається з n колових секторів ОА′′кА′′к+1О (к=0, 1, 2, ..., n-1), сама цілком містить у собі цей криволінійний сектор.
Площею криволінійного сектора ОАВО називають спільну границю (якщо вона існує) при площ фігур R(1)(T) і R(2)(T).
Покажемо, що площі фігур R(1)(T) і R(2)(T) дійсно мають спільну границю при
і що ця границя S виражається через визначений інтеграл за формулою:
(3)
Справді, площі колових секторів ОА′кА′к+1О і ОА′′кА′′к+1О дорівнюють відповідно і , тому
пл. пл. (4)
Суми (4) є відповідно нижня і верхня суми Дарбу, складені для функції і (Т)-розбиття відрізка [α; β]. Оскільки функція неперервна на відрізку [α; β], то на цьому відрізку неперервна і функція . А всяка неперервна функція на відрізку інтегрована на цьому відрізку. Для функції , інтегрованої на відрізку [α; β], границя нижньої суми Дарбу дорівнює границі верхньої суми Дарбу і ця їх спільна границя S дорівнює визначеному інтегралу тобто
Таким чином, площа S криволінійного сектора ОАВО обчислюється за формулою (3).