- •Потужність множини. Зчисленні та незчисленні множини. Їх властивості.
- •2.Поняття моделі. Поняття інформаційної моделі. Поняття математичної моделі.
- •Приклади лінійних просторів
- •2.Алгоритм. Способи опису алгоритмів. Словесна та графічна форми подання алгоритмів.
- •1. Похідна функції однієї змінної, її геометричний та механічний зміст. Основні правила диференціювання.
- •3. Похідна складної функції.
- •1. Диференційовані функції однієї змінної, критерій диференційованості. Диференціал в точці, його геометричний зміст, застосування до наближених обчислень.
- •2. Програма. Поняття мови програмування. Поняття про середовище програмування
- •1. . Основні теореми диференціального числення. Теорема Лагранжа. Умови сталості та монотонності функції.
- •2. . Трансляція та її види: інтерпретація, компіляція. Їх особливості. Поняття системи програмування.
- •1. Екстремум функції. Необхідні умови екстремуму. Достатні умови екстремуму.
- •1. Максимум і мінімум функції в точці.
- •2. Основні принципи технології структурного програмування. Метод покрокової деталізації.
- •1. Структурне програмування
- •1.1. Принцип модульності
- •1. Первісна функція та неозначений інтеграл. Інтегрування підстановкою та частинами.
- •2. Основні принципи технології об’єктно-орієнтованого програмування. Поняття про об’єкт (клас).
- •1. Означений інтеграл. Необхідна умова інтегровності. Критерій інтегровності. Інтегровність неперервної функції.
- •Стандартні функції мови с
- •Аргументи функції
- •1. Квадровні фігури. Застосування означеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.
- •2. Алгоритми обробки масивів. Алгоритм послідовного пошуку. Пошук максимального (мінімального) елемента. Масиви даних
- •Одновимірні масиви (вектори)
- •1. Спрямлювані криві та їх довжини. Теорема Жордана. Обчислення довжини кривої за допомогою означеного інтеграла.
- •1. Застосування визначеного інтеграла до обчислення об’ємів тіл обертання та площ поверхонь обертання.
- •Задача про перевезення (транспортна задача)
- •1. Додатні числові ряди, властивості збіжних рядів, критерій збіжності. Теореми про порівняння рядів. Ознака Даламбера та інтегральна ознака Коші.
- •2. Метод штучного базису відшукання початкового базисного розв’язку злп. М-метод розв’язування злп.
- •1) Методи відшукання початкового базисного розв’язку
- •2) Описання м-методу розв’язування злп.
- •1Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. Абсолютно і умовно збіжні ряди.
- •2. Двоїсті злп та їх властивості. Теореми двоїстості. Двоїстий симплекс-метод.
- •1. Функціональні послідовності і ряди. Збіжність, область збіжності. Рівномірна збіжність. Ознака Вейєрштраса.
- •2. Транспортна задача (тз). Властивості тз. Деякі методи відшукання початкового базисного розв’язку тз. Метод потенціалів розв’язування тз.
- •§2. Деякі властивості транспортної задачі.
- •§3. Базисні розв’язки транспортної задачі.
- •§4. Деякі методи відшукання базисного розв’язку транспортної задачі.
- •4.1. Метод північно-західного кута.
- •4.2. Метод мінімального елемента
- •§5. Метод потенціалів розв’язування транспортної задачі.
- •1. Метричні простори. Відкриті та замкнуті множини, їх властивості.
- •2. Потоки та мережі. Постановка задачі. Задача про найкоротший шлях. Метод Мінті. Задача про максимальний потік. Метод Форда-Фалкерсона.
- •3. Задача про максимальний потік. Метод Форда–Фалкерсона
- •1. Векторний добуток двох векторів, його властивості та застосування.
- •2. Поняття границі числової послідовності, її властивості. Теорема про границю монотонної числової послідовності. Теорема Больцано-Вейєрштраса
- •1.Еліпс, означення та канонічне рівняння. Дослідження форми еліпса за канонічним рівнянням.
- •Оптимальні чисті стратегії
- •§ 3. Оптимальні змішані стратегії
- •1. Означення детермінанта n-го порядку. Властивості детермінантів.
- •2. Правила суми і добутку. Розміщення, перестановки, комбінації (без повторень та з повтореннями).
- •2. Алгоритми обробки масивів. Сортування елементів масиву методом "бульбашки". Масиви даних
- •Одновимірні масиви (вектори)
- •1. Площини та прямі в просторі.
- •2. Теорема множення ймовірностей. Незалежність подій.
- •1. Поверхні другого порядку. Еліпсоїди, параболоїди, гіперболоїди, гіперболічний параболоїд.
- •Запишемо рівняння поверхні обертання, утвореної обертанням еліпса
- •Записуючи рівняння параболоїда обертання (6) у вигляді
- •На закінчення розглянемо
- •2. Формула повної ймовірності та формули Байєса.
- •1. Формула повної ймовірності та формули Байєса.
- •49.3. Матриця лінійного оператора. Приклади.
- •2. Опис рядків у мові програмування с. Операції над рядками, функції для обробки рядків Рядки
- •Функції обробки символів та рядків
- •Функції, що стосуються рядків, які розглядаються як послідовність байт.
- •Функції, що обробляють рядки
- •1. Множини та відношення. Основні види бінарних відношень. Розбиття множини на класи.
- •1. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку та рівняння Бернуллі.
- •Рівняння в повних диференціалах
- •2. . Канонічні (нормальні) форми булевих функцій. Алгебра Жегалкіна.
- •1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння n-го порядку із змінними коефіцієнтами. Фундаментальна система розв’язків. Детермінант Вронського. Загальний розв’язок.
- •2. Комбінаторні конфігурації. Біноміальна та поліноміальна теореми.
- •1. Розв’язування диференціальних рівнянь та їх систем.
- •2. Повнота і замкненість систем булевих функцій. Теорема (критерій) Поста.
- •1. Інтерполювання функцій многочленами Лагранжа.
- •Інтерполювання функцій многочленами Ньютона. Сплайни.
- •Скінченні різниці
- •Перша інтерполяційна формула Ньютона
- •Друга інтерполяційна формула Ньютона
- •1. Лінійна та нелінійна кореляція. Метод найменших квадратів. Побудова емпіричних формул.
- •2. . Опукле програмування. Функція Лагранжа. Теорема Куна-Таккера-1. Теорема Куна-Таккера-2. Задача опуклого квадратичного програмування. Квадратичний симплекс-метод. Задачі опуклого програмування.
- •Функція Лагранжа. Теореми Куна-Таккера.
§ 3. Оптимальні змішані стратегії
Означення 5.2. Змiшаною стратегією гравця P1 називається вектор
а змішаною стратегією гравця P2 — вектор
Величини xi (i=1,...,m) та yj (j=1,...,n) трактуються як ймовірності, з якими гравці P1 та P2 вибирають відповідно i-й рядок та j-й стовпець матриці С.
Зрозумiло, що i-у чисту стратегію гравця P1 можна розглядати як частинний випадок його змішаної стратегії x при xi=1, xk=0, k≠i. Це ж стосується i j-ї чистої стратегії гравця P2.
Позначимо через X та Y, відповідно, множини змішаних стратегій першого та другого гравців, тобто
Якщо гравець P1 використовує свою змiшану стратегію x є X, а P2 — y є Y, то математичне сподівання плати гравця P1 гравцеві P2 (середній виграш гравця P2) знаходиться звичайним чином
(10)
Трiйка називається усередненням матричної гри G.
Мiркуючи аналогічно випадку чистих стратегій, приходимо до висновку, що гравець P1 може забезпечити собі середній програш не більше
(11)
а гравець P2 може забезпечити собі середній виграш не менше
(12)
Задачі (11) та (12) є задачами пошуку гарантованих змішаних стратегій першим та другим гравцем відповідно.
Якщо для деяких змішаних стратегій x* є X, y* є Y
F(x*,y) ≤ F(x*,y*) ≤ F(x,y*), (13)
для всіх xєX, yєY, тобто якщо (x*,y*) є сiдловою точкою функції F(x,y), то, як було доведено раніше,
(14)
Аналогiчно випадку існування розв'язку гри G у чистих стратегіях можна дати такі означення.
Компоненти x* та y* сiдлової точки (x*,y*) функції F(x,y) називаються оптимальними змішаними стратегіями відповідно гравців P1 та P2, а F(x*,y*) — ціною гри G. При цьому кажуть, що матрична гра має розв'язок у змішаних стратегіях.
Теорема 5.2. Задачі (11), (12) гравців P1 та P2 еквівалентні відповідно таким ЗЛП:
(15)
(16)
Теорема 5.3 (про мiнiмакс). Будь-яка матрична гра має розв'язок у змішаних стратегіях.
Доведення. За теоремою 2 для ЗЛП (15)
(18)
а для ЗЛП (16)
де області D та визначаються обмеженнями розглядуваних задач. За лемою 3 ЗЛП (15) та (16) є двоїстими. Якщо існує розв'язок однієї з пари двоїстих ЗЛП, тобто існує
то за теоремою двоїстості існує розв'язок i другої задачі, причому
Враховуючи (18) та (19), звідси маємо
а це означає, що існують оптимальні змішані стратегії гравців у розглядуваній матричній грі.
Легко бачити, що ЗЛП (15), (16) завжди мають розв'язок. Розглянемо, наприклад, задачу (15). Оскiльки xm+1 за знаком не обмежене, то множина D не є порожньою (будь-яке x є X є допустимим розв'язком). Через те, що
величина обмежена знизу для будь-якого j=1,...,n. Звiдси випливає, що xm+1 обмежена знизу, отже існує .
Як відомо, у матричних іграх з сiдловою точкою жодному з гравців не слід відступати від своєї оптимальної чистої стратегії за умови, що його противник дотримується своєї оптимальної чистої стратегії. Дослiдимо наслідки аналогічних дій гравців у матричній грі, що не має сiдлової точки. За теоремою про мiнiмакс (основною теоремою матричних ігор) така гра завжди має розв'язок у змішаних стратегіях.
Білет18