Момент количества движения мт относительно центра и оси

При решении ряда задач движение МТ удобнее характеризовать изменением момента относительно какого-либо центра или оси. При этом учитывается не только вектор количества движения МТ, но и положение точки. При определении момента количества движения МТ используем понятие момента относительно центра и оси (из статики).

Векторным моментом количества движения МТ относительно центра О называется вектор, перпендикулярный к плоскости, в которой расположены вектор и центр О, и направленный в ту сторону, откуда вращательное действие вектора видно направленным против часовой стрелки (рис. 5.3).

Д ругими словами,

, (5.9)

то есть векторный момент количества движения точки М относительно центра О равен векторному произведению радиуса-вектора этой точки с полюсом О на ее вектор количества движения .

По модулю

.

Аналогично понятию момента относительно оси, взятому из статики, можно написать

, (5.10)

то есть момент количества движения МТ относительно оси z равен проекции векторного момента на эту ось.

Он же равен алгебраическому моменту проекции количества движения этой точки на плоскость П, перпендикулярную к оси z, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью

.

Теорема об изменении момента количества движения мт

Напишем выражение момента количества движения МТ массы m, движущейся под действием силы , относительно центра О

, (5.11)

где – радиус-вектор точки М.

Дифференцируем (5.11) по времени

. (5.12)

Здесь

и ,

так как .

По теореме об изменении количества движения МТ имеем . Следовательно, на основании (5.12)

, (5.13)

где в правой части содержится выражение момента силы относительно центра .

Таким образом,

, (5.14)

то есть производная по времени от момента количества движения МТ относительно какого-либо центра равна векторному моменту силы, действующей на точку, относительно того же центра.

В проекциях это также справедливо

.

Так как проекция производной вектора на неподвижную ось равна производной проекции на ту же ось, то

, (5.15)

то есть производная по времени от момента количества движения МТ относительно какой-либо оси равна моменту силы, действующей на точку, относительно той же оси.

Следствие.

Из (5.3) следует, что если , то , то есть если момент силы, действующей на МТ, относительно какого-либо центра равен нулю, то момент количества движения точки относительно этого центра есть величина постоянная.

Движение мт под действием центральной силы

Ц ентральной силой называется сила, линия действия которой постоянно проходит через заданный центр. Примером ее может служить сила притяжения между небесными телами (планетами и Солнцем, спутников и Земли).

Так как в этом случае , то . Вектор постоянно направлен перпендикулярно к плоскости, образованной векторами и . Это означает, что точка движется по плоской кривой.

Модуль , то есть (рис. 5.4).

Определим . Рассмотрим перемещение материальной точки М за время .

Площадь сектора

, (5.16)

откуда .

Величина характеризует быстроту изменения со временем площади, ометаемой радиусом-вектором , и называется секторной скоростью точки.

Под действием центральной силы МТ может двигаться только вдоль плоской кривой с постоянной секторной скоростью. Это один из законов Кеплера, называемый «законом площадей».

Пример.

Точка движется вокруг неподвижного центра под действием силы , притягивающей ее к этому центру (рис. 5.5-а). Найти скорость в наиболее удаленной от центра точке траектории, если в наиболее близком к нему положению и .

Решение.

Т ак как движение материальной точки сопровождается действием центральной силы, то ее момент количества движения относительно центра О постоянный ( ). Из условия равенства площадей треугольников (рис. 5.5-б) имеем

,

откуда