5.6.Решение задачи оптимального планирования работы автопарка

Составим двойственную задачу к задаче оптимального планирования автобусного парка.

Прямая задача:

при ограничениях

х ₁ + х₆ ≥ 4; (с 0:01 до 4:00) ← y₁

х₁ + х₂ ≥ 8; (с 4:01 до 8:00) ← y₂

х₂ + х₃ ≥ 10; (с 8:01 до 12:00) ← y₃

х₃ + х₄ ≥ 7; (с 12:01 до 16:00) ← y₄

х₄ + х₅ ≥ 12; (с 16:01 до 20:00) ← y₅

х₅ + х₆ ≥ 4; (с 20:01 до 24:00) ← y₆

х _j ≥ 0; j = 1,...,6

Двойственная задача:

W(y) =4 y₁ + 8 y₂ +10 y₃+ 7 y₄ + 12 y₅ + 4y₆ → max.

при ограничениях

y ₁ + y₂ ≤ 1; (1)

y₂+ y₃ ≤ 1; (2)

y₃ + y₄≤ 1; (3)

y₄ + y₅ ≤ 1; (4)

y₅ + y₆ ≤ 1; (5)

y₆ + y₁ ≤ 1; (6)

i =1,...,6.

Найдем допустимый план, удовлетворяющий ограничениям двойственной задачи. Двойственные переменные являются булевыми переменными. Причем только одна из двойственных переменных, фигурирующих в двойственном ограничении, может быть отлична от нуля. Так как решается задача максимизации W , то логично положить равной единице переменную при самом большом коэффициенте целевой функции y₅ = 1, тогда из ограничения (5) следует, что y₄=0, из ограничения (6) следует, что y₆=0. Из ограничения (1) следует, что y₁=1. Тогда из ограничения (2) следует, что y₂=0. Из ограничения (3) получим, что y₃=1. Значение целевой функции W=26. Получили допустимый план Y(1,0, 1, 0, 1,0) .

Найдем план прямой задачи, соответствующий плану Y. Из условий равновесия следует, что 1-е, 3-е и 5-е ограничения прямой задачи будут выполняться как равенства, так как связанные с ними двойственные переменные y₁=y₅=y₃=1. Так как y₂=y₄=y₆=0, то 2-е, 4-е и 6-е ограничения прямой задачи будут выполняться как неравенства. Допустимый план прямой задачи должен удовлетворять трем равенствам и трем неравенствам:

х₁ + х₆ = 4; х₁ + х₂ ≥ 8;

х₂ + х₃ = 10; х₃ + х₄ ≥ 7;

х₄ + х₅ = 12; х₅ + х₆ ≥ 4;

Найдем допустимый план X. Пусть х₁=4, тогда х₆=0. Положим х₂=8 (10>8, второе неравенство выполняется). Тогда х₃ =10-8=2. Примем х₄=6 (2+6>7). Следовательно, х₅=12-6=6. При этом последнее неравенство выполняется (6+0>4). Допустимый план X(4;8;2;6;6;0). Значение целевой функции прямой задачи (автобусов). Значения задач двойственной пары совпадают , значит, согласно теории двойственности, оба плана являются оптимальными.

Итак, мы получили, что для удовлетворения потребностей в перевозках достаточно выпускать на линию 26 автобусов. Выигрыш от оптимального решения по сравнению с решением для общепринятого трехсменного графика работ (для него автобусов) составит:

Следует заметить, что найденный план x является не единственным. Любой план, удовлетворяющий трем равенствам и трем неравенствам, будет оптимальным. Например, оптимальны также следующие планы: X(0;10;0;8;4;4), X(2;6;4;4;8;2) и т.д.

Глава 6.Область применения сетевых транспортных задач

В данном разделе рассматриваются различные случаи сетевых транспортных задач, которые можно промоделировать и решить задачу о кратчайшем пути. Задача о кратчайшем пути состоит в нахождении связанных между собой дорог на транспортной сети, которые в совокупности имеют минимальную длину от исходного пункта до пункта назначения.