6.2.2.Алгоритм для сетей с циклами

А

лгоритм нахождения кратчайшего пути на сети, содержащей циклы, также основан на рекурсивных вычислениях. Однако в этом случае они несколько сложнее. Сначала опишем шаги вычислительной процедуры, а затем проиллюстрируем её на числовом примере.

Таблица 80

	1	2	…	n –1	n	ui
1	d11	d12	…	d1, n-1	d1n	u1
2	d21	d22	…	d2, n-1	d2n	u2
			…
n	dn1	dn2	…	dn, n-1	dnn	un
	v1	v2	…	vn-1	vn

Пусть требуется определить кратчайший маршрут между узлом 1 и любым другим узлом сети j, j = 2,…, n. Алгоритм удобно представить, записав расстояния d_ij между узлами i и j в виде табл. 80 (заметим, что d_ij могут отличаться от d_ji). Таким образом, строка i (столбец j) представляет узел i (узел j). Шаги алгоритма можно представить следующим образом.

Шаг 1 Пусть v_j – сумма длин дуг, образующих цепь, ведущую из узла 1 в узел j. Положим v₁= 0 и u_i равным v_j, если i = j. При условии, что i и j и соединены дугой, величина v_j определяется как v_j = min{u_i + d_{i j}}.

Процесс начинается с i = 1 и v₁ =u₁ = 0.

Заметим, что u_i включает расстояния до узла i, которое заметим используется для определения ближайшего узла j. При этом требуется, чтобы обращение к значению u_i (= v_j) для i= j происходило сразу после появления v_j и прежде чем вычислено какое-либо новое значение v_j.

Шаг 2 Положить i =1.

1) Вычислить v_ju_i для всех j.

2) Если d_ij v_ju_i для всех j, то между узлами i и j не существует более короткого пути. Если i = n, перейти к п. 4. Иначе положить i=i+1 и перейти к п. 1.

3) Если d_{i j}< v_j - u_i, вычислить новые значения v_j , v ^/_j используя формулу

v ^/_j = u_i + d_{i j} .

Заменить v_j и u_i и для i = j на v ^/_j. Если i = n, перейти к п. 4, в противном случае положить i=i+1 и перейти к п. 1.

4) Если значение v_j изменялось в п. 3, повторить пункт 2, используя изменённое значение. В противном случае перейти к шагу 3.

Шаг 3 Полученные значения v_j определяют кратчайшее расстояние между узлами 1 и j =2, 3, …, n. Для получения соответствующих цепей последняя дуга (i, j) в цепи (i, j) должна удовлетворять условию = v_j  d_{i j} .

После определения i₁ предпоследняя вершина i₂ должна удовлетворять равенству =

Процесс продолжается, пока не будет достигнут узел 1.

Пример 6.0:

Рассмотрим сеть на рис. 6.4. Сеть содержит циклы, возникающие из-за возможности двустороннего движения. Если дуга ориентирована (т.е. движение одностороннее), расстояние в другом направлении полагается равным .

Соответствующие величины d_ij вместе с предварительными значениями u_i и v_j и приведены в табл. 81. Исходные величины v_j и u_i определяются следующим образом. Пусть u₁ = v₁ = 0 . При использовании формулы

v_j = min{u_i +d_{i j}}

Осуществляется последовательное обращение к величинами v_j и u_i по мере того как они становятся доступными.

v₂ = 0+2= 2, u₂ =2,

v₃ = {u₁ + d₁₃ , u₂ + d₂₃}= {0+8, 2+3}= 5, u₃ = 5,

v₄ = {u₁+d₁₄ , u₂+d₃₄}= {0+11, 5+ }=11, u₄ = 11,

v₅ = {u₁+d₁₅, u₂+d₂₅}= {0+9, 2+5}=7, u₅ =7,

v₆ = {u₂+d₂₆,u₃+d₃₆,u₄+d₄₆ ,u₅ +d₅₆}= {2+1,5+2,11+2,7+7}= 3, u₆= 3,

v₇ = {u₄ + d₄₇ , u₅ + d₅₇, u₆ + d₆₇,}= {11+23,7+9,3+10}=13, u₇=13.

Рис. 6.12. Пример сети с циклами

Таблица 81

i/j	1	2	3	4	6	6	7	ui
1		2	8	11	9			0
2	4		3		5	1		2
3	1	4			2	2		5
4	5		9			2	23	11
5	2					7	9	7
6		8	3	5	1		10	3
7				10	4	2		13
vj	0	2	5	11	7	3	13

При переходе к шагу 2 проводится проверка условия оптимальности путём сравнения (v_ju_i) с d_ij следующим образом.

j = 1:

	j = 1	2	3	4	5	6	7
vj – u1	*	2	5	11	7	*	*
d1j	*	2	8	11	9	*	*

Поскольку v_ju_i  d_ij для всех j, величины v_j пересчитывать не следует. Заметим, что для j=1, 6 и 7 расстояния d_ij не определены, поэтому эти величины при сравнении не берутся. В процессе реализации алгоритма обнаруживается, что условие оптимальности первый раз нарушается при i=6.

При i = 6 условие оптимальности нарушается для j = 4 и 5. Величины v₄ и v₅ изменяются следующим образом:

v ^/₄ = u₆ + d₆₄ = 3+5=8 (v₄=u₄=8),

v ^/₅ =u₆ + d₆₅ =3+1= 4 (v₅ =u₅=4).

В последующих вычислениях, т.е. для i=7, используются изменённые значения v₄ , v₅ и u₄ , u₅.

j = 2:

	j = 1	2	3	4	5	6	7
vj – u2	-2	*	3	*	5	1	*
d2j	4	*	3	*	5	1	*

j = 3:

	j = 1	2	3	4	5	6	7
vj – u3	-5	-3	*	6	*	-2	*
d3j	1	4	*		*	2	*

j = 4:

	j = 1	2	3	4	5	6	7
vj – u4	-11	*	-6	*	*	-8	2
d4j	5	*	9	*	*	2	23

j=5:

	j = 1	2	3	4	5	6	7
vj – u5	-7	-5	*	*	*	-4	6
d5j	2		*	*	*	7	9

j = 6:

	j = 1	2	3	4	5	6	7
vj – u6	*	-1	2	8	4	*	10
d6j	*	8	3	5	1	*	10

j =7:

	j = 1	2	3	4	5	6	7
vj – u7	*	*	*	-5	-9	-10	*
d7j	*	*	*	10	4	2	*

После этого повторяется шаг 2 с изменёнными значениями v_j и u_i. В табл. 82 приведены результаты сравнений, проведённых для i =1, 2, … ,7. Из этой таблицы видно, что в новых изменениях уже нет необходимости, и поэтому последние изменённые величины v_j дают длину кратчайшего пути от 1 до j.

Покажем, каким образом используется u_i и v_j в табл. 81 для определения кратчайших расстояний между узлом 1 и каждым из узлов j=2, 3, … , 7. Проиллюстрируем процедуру на примере нахождения участков кратчайшего пути между узлами 1 и 7.

Как уже известно, кратчайшее расстояние между узлами 1 и 7 равно v₇ = 13. Определение участков сети должно начинаться с узла 7. Требуется найти узел, непосредственно предшествующий узлу 7. Из столбца 7 табл. 81 видно, что равенство v₇ =u₁ + d₁₇ , выполняется при i=5 и i=6, т. е. либо узел 5, либо узел 6 соединён с 7 (альтернативные решения).

Рассмотрим сначала узел 5. Из столбца 5 видно, что равенство v₅=u₁+d₁₅ выполняется при i=6. Далее из столбца 6 следует, что равенство v₆=u₁+d₁₆ выполняется при i=2. Наконец, как следует из столбца 2, равенство v₂=u₁+d₁₂ выполняется при i=1. Получившиеся участки дают путь 12657 с v₇ =13.

Аналогичная процедура позволяет получить другой кратчайший путь между узлами 1 и 7, а также все пути между узлами 1 и j = 2, 3, 4, 5 и 6.

Таблица 82

	j =1	2	3	4	5	6	7	ui
i =1		2 2	5 8	8 11	4 9			0
i =2	-2 4		3 3		2 5	1 1		2
i =3	-5 1	-3 4		3		-2 2		5
i =4	-8 5		-3 9			-5 2	5 23	8
i =5	-4 2	-2				-1 7	9 9	4
i = 6		-1 8	2 3	5 5	1 1		10 10	3
i = 7				5 10	-9 4	-10 2		13
vj	0	2	5	8	4	3	13