7.3. Определение развозочных маршрутов для перевозки мелких партий грузов

Цель работы заключается в составлении развозочных маршрутов движения автомобилей при перевозке мелких партий грузов, имеющие минимальную суммарную длину. В качестве исходных данных будем использовать транспортную сеть, матрицу кратчайших расстояний (табл. 104) и объемы завоза грузов потребителям из табл. 125. Для выполнения перевозок имеется один автомобиль «Газель» грузоподъемностью 1,7 тонны. Таким образом, для того, чтобы вывезти от отправителя А и завезти всем 12 получателям (Б, В, Г,…, Н) 3,3 тонны груза, необходимо составить 2 маршрута движения (2,9:1,7≈2, округляем, естественно, в большую сторону).

Таблица 125

Объемы завоза груза в промежуточные пункты, т

Пункт отправления, А	Б	В	Г	Д	Е	Ж	З	И	К	Л	М	Н
3,3	0,2	0,3	0,4	0,1	0,3	0,4	0,2	0,3	0,2	0,4	0,2	0,3

Составим два визуальных развозочных маршрута табл. 126.

Таблица 126

Развозочные маршруты

№	Маршрут движения	Загрузка, т	Длина маршрута, км
1.		1,7	46
2.		1,6	55
	Итого:	3,3	101

Теперь решим эту задачу с помощью математических методов. Задача определения рационального развоза грузов базируется на классической математической задаче определения кольцевого маршрута, проходящего через несколько пунктов, при условии, что каждый пункт посещается только один раз, и конечный пункт совпадает с начальным. Необходимо организовать перевозку между всеми пунктами и с наименьшим пробегом автомобилей.

Решение задачи разделяется на 2 этапа. На 1 этапе, учитывая, что маршрутов будет 2, необходимо произвести набор пунктов в маршруты, то есть определить, какие из 12 пунктов завоза будут входить в первый маршрут, а какие во второй. Для этого используется кратчайшая связывающая сеть. На 2 этапе необходимо определить последовательность объезда пунктов в каждом из маршрутов. Для этого могут быть использованы методы "ветвей и границ" или "суммирования по столбцам".

7.3.1. Нахождение кратчайшей связывающей все пункты сети и набор пунктов в маршруты

Кратчайшая связывающая сеть - это имеющая наименьшую длину сеть дорог, которая соединяет несколько пунктов.

Существует простой алгоритм нахождения кратчайшей связывающей сети. Прежде всего соединяют два пункта, разделенные наименьшим расстоянием. На каждом следующем шаге добавляют звено самой малой длины, при присоединении которого к уже выбранным звеньям замкнутого пути (контура) не образуется, т.е. звенья не соединяются дважды. Рассмотрим на примере. Расстояния между пунктами указаны в таблице 127.

Построение кратчайшей связывающей сети необходимо начать с первой точки (пункта отправления). Выпишем из таблицы 1 первую строку (строку А), при этом сверху обозначим столбцы, а снизу – строки.

Столбец

Б

В

Г

Д

Е

Ж

З

И

К

Л

М

Н

Ряд I

6

2

9

3

7

11

4

9

11

10

18

18

Строка

А

А

А

А

А

А

А

А

А

А

А

А

Из чисел этого ряда найдем наименьшее (2), соответствующее ему звено А-В занесем в табл. 128. Сравним соответствующие числа ряда I и строки В табл. 127. Из каждой сопоставляемой пары выберем наименьшее, получим ряд II.

Таблица 127

Матрица кратчайших расстояний

	А	Б	В	Г	Д	Е	Ж	З	И	К	Л	М	Н	min
А		6	2	9	3	7	11	4	9	11	10	18	18	2
Б	6		4	6	9	10	13	6	11	17	13	20	20	4
В	2	4		7	5	6	9	2	7	13	9	16	16	2
Г	9	6	7		12	13	16	9	14	20	16	23	23	6
Д	3	9	5	12		4	12	7	12	8	7	17	21	3
Е	7	10	6	13	4		8	8	13	7	3	13	21	3
Ж	11	13	9	16	12	8		7	12	15	11	12	20	7
З	4	6	2	9	7	8	7		5	15	11	14	14	2
И	9	11	7	14	12	13	12	5		20	16	17	9	5
К	11	17	13	20	8	7	15	15	20		4	14	22	4
Л	10	13	9	16	7	3	11	11	16	4		10	18	3
М	18	20	16	23	17	13	12	14	17	14	10		8	8
Н	18	20	16	23	21	21	20	14	9	22	18	8		8

Столбец	Б	Г	Д	Е	Ж	З	И	К	Л	М	Н
Ряд II	4	7	3	6	9	2	7	11	9	16	16
Строка	В	В	А	В	В	В	В	А	В	В	В

Наименьшее число 2 соответствует звену В-З, его занесем в табл. 128. Сравним числа строки З с числами ряда II, получим ряд III.

Столбец	Б	Г	Д	Е	Ж	З	И	К	Л	М	Н
Ряд III	4	7	3	6	9	7	5	11	9	14	14
Строка	В	В	А	В	В	З	З	А	В	З	З

Наименьшее число 3 соответствует звену А-Д, выберем его и занесем в табл. 128. Сравним числа строки Д с числами ряда III, получим ряд IV.

Столбец	Б	Г	Е	Ж	И	К	Л	М	Н
Ряд IV	4	7	4	7	5	8	7	14	14
Строка	В	В	Д	З	З	Д	Д	З	З

Наименьшее число 4 соответствует нескольким звеньям, выбираем любое из них например звено Д-Е, его занесем в табл. Сравним числа строки Е с числами ряда IV, получим ряд V.

Столбец	Б	Г	Ж	И	К	Л	М	Н
Ряд V	4	7	7	5	7	3	13	14
Строка	В	В	З	З	Е	Е	Е	З

Наименьшее число 3 соответствует звену Е-Л, его занесем в табл. 128. Сравним числа строки Л с числами ряда V, получим ряд VI.

Столбец	Б	Г	Ж	И	К	М	Н
Ряд V	4	7	7	5	4	10	14
Строка	В	В	З	З	Л	Л	З

Наименьшее число 4 соответствует нескольким звеньям, выбираем любое из них, например звено Б-В. Сравним числа строки В с числами ряда VI, получим ряд VII.

Столбец	Г	Ж	И	К	М	Н
Ряд V	7	7	5	4	10	14
Строка	В	З	З	Л	Л	З

Наименьшее число 4 соответствует звену Л-К. Сравним числа строки К с числами ряда VII, получим ряд VIII.

Столбец	Г	Ж	И	М	Н
Ряд V	6	7	5	10	14
Строка	Б	З	З	Л	З

Наименьшее число 5 соответствует звену З-И. Сравним числа строки И с числами ряда VIII, получим ряд IX.

Столбец	Г	Ж	М	Н
Ряд V	6	7	10	9
Строка	Б	З	Л	И

Наименьшее число 6 соответствует звену Б-Г. Сравним числа строки Г с числами ряда IX, получим ряд X.

Столбец	Ж	М	Н
Ряд V	7	10	9
Строка	З	Л	И

Наименьшее число 7 соответствует звену З-Ж. Сравним числа строки Ж с числами ряда X, получим ряд XI.

Столбец	М	Н
Ряд V	10	9
Строка	Л	И

Наименьшее число 9 соответствует звену И-Н. Сравним числа строки Н с числами ряда XI, получим ряд XII. Выбираем оставшееся звено Н-М.

Столбец	М
Ряд V	10
Строка	Н

Таблица 128

Звенья кратчайшей связывающей сети

Порядковый номер звена	Звено	Длина звена, км	Порядковый номер звена	Звено	Длина звена, км
1	А-В	2	7	Л-К	4
2	В-З	2	8	З-И	5
3	А-Д	3	9	Б-Г	6
4	Д-Е	4	10	З-Ж	7
5	Е-Л	3	11	И-Н	9
6	Б-В	4	12	Н-М	8

Рис. 7.22. Кратчайшая связывающая все пункты сеть

Кратчайшая связывающая сеть представлена на рис. 7.6

По каждой ветви сети, начиная с той, которая имеет наибольшее количество звеньев, группируют пункты для включения в маршрут. В каждый маршрут группируют пункты с учетом количества ввозимого груза и вместимости подвижного состава. При составлении маршрутов с помощью связывающей сети процесс нужно начинать от пункта, наиболее удаленного от грузопоставщика (М). В нашем примере грузоподъемность автомобиля позволяет объединять в маршруте пункты потребления суммарный завоз в который не превышает 1,7 т. При выборе маршрутов могут возникать различные варианты, например приведенный в табл. 129.

Таблица 129

Развозочные маршруты движения автомобилей, полученные по кратчайшей связывающей сети

Маршрут движения	Загрузка, т.	Длина маршрута, км
1. А-М-Н-И-З-Ж-В-А	1,7	58
2. А-К-Л-Е-Д-Б-Г-А	1,6	46
ИТОГО	3,3	104

Установленная с помощью рассмотренного метода последовательность объезда пунктов может быть не оптимальной. Поэтому обычно кратчайшую связывающую сеть используют только для определения набора пунктов, включаемых в развозочный маршрут. Затем, используя один из более совершенных методов маршрутизации, пригодных для решения задачи при данных условиях, определяют последовательность их объезда.