Основная теорема теории двойственности

Пусть прямая задача (5.5) имеет решение Х*. Тогда двойственная задача (5.6) также имеет решение У*, причем значения задач совпадают: <c,X*>=<b,Y*>. Равенство <c,X*>=<b,Y*> называют соотношением двойственности. Отметим, что для несимметричной двойственной пары (5.5), (5.6) справедливы утверждения лемм 1,2,3:

1. для любой пары допустимых планов (Х,У) имеет место неравенство:

<c,X> ≤ <b,Y>;

2. если <c,X>=<b,Y>, то Х, У – оптимальные планы задач (5.5), (5.6);

3. если двойственная пара (5.5), (5.6) имеет допустимые планы Х, У, то задачи (5.5), (5.6) имеют решения Х^*, У^*.

Соответствующие доказательства полностью аналогичны предыдущим.

Из теоремы 1 и утверждения 2 выделим следующий результат: Для оптимальности допустимых планов Х, У в двойственной паре (5.5), (5.6) необходимо и достаточно, чтобы <c,X>=<b,Y>.

Представим это равенство в другой форме, использующей ограничения задач (5.5), (5.6).

Поскольку b=AX, то <b,y> <c,X> = <х, А^Ту>  <c,X> = <А^Т с,х>.

Следовательно, соотношение (5.7) есть необходимое и достаточное условие оптимальности допустимых планов Х, в двойственной паре (5.5), (5.6).

<АТ-с,х>=0

(5.24)

Таким образом, условие (5.7) эквивалентно системе равенств (5.8), которые характеризуют взаимосвязь ограничений двойственной задачи и условий неотрицательности прямой задачи.

(<a j, y>  cj)хj =0, j=1,..,n

(5.25)

Эта взаимосвязь состоит в следующем: для оптимальности допустимых планов (Х, У) в двойственной паре (5.5), (5.6) необходимо и достаточно выполнение соотношений (условия равновесия):

1. если х_j>0, то <a ^j, y>  c_j =0;

2. если <a ^j, y> c_j >0, то х_j =0.

Полученные условия могут быть использованы для построения оптимального плана одной из задач двойственной пары по известному решению другой (условие 1 фактически применялось в начале данного пункта для нахождения оптимального двойственного плана Y^*).

5.5. Условия равновесия в симметричной паре. Экономическая интерпретация

Вернемся к изучению симметричной двойственной пары задач линейного программирования (5.3) и (5.4).

<c,X>→мах, AX ≤ b, X ≥ 0	(5.3)
<b,Y>→min, ATY ≥ c, Y ≥0	(5.4)

Докажем аналог основной теоремы в этой ситуации.

Теорема 2. Пусть прямая задача (5.3) имеет решение Х^*. Тогда двойственная задача (5.4) также имеет решение У^*, причем значения задач совпадают: <c,X^*>=<b,Y^*>.

Доказательство: представим задачу (5.3) в канонической форме (5.9).

<c,X>→mах,	(5.26)
АХ + Х′=b, X≥0, X′≥0,

где Х′= (х_n+1,……,x_n+m) – вектор дополнительных переменных.

В данной запаси план задачи, есть вектор (Х, Х`)R^n+m, целевой вектор имеет вид (с, 0), матрица условий – (АЕ), где Е – (mxm) единичная матрица. Основным переменным х_1,……, х_n соответствуют векторы условий а¹,…….,аⁿ (столбцы матрицы А), дополнительным переменным х_n+1,…,x_n+m – векторы условий е¹,…..,е^m (столбцы матрицы Е – единичные орты из R^m).

Запишем двойственную задачу для (5.9)

<b,y>→min,

<aj,y>  cj, j=1,..,n, <ei,y>  0, i=1,..,m.

Понятно, что <eⁱ,y> = y_j. В векторно-матричной записи задача имеет вид:

<b,y>→min,	(5.27)
ATy ≥ c, y ≥ 0,

т. е. совпадает с двойственной задачей (5.4).

Таким образом, задачи образуют несимметричную двойственную пару, для которой справедлива теорема 1. Остается заметить, что значения задач так же совпадают. Теорема доказана.

В совокупности с леммой 2 заключаем, как и ранее, что равенство <c,X>=<b,Y> является необходимым и достаточным условием оптимальности допустимых планов Х, Y в симметричной двойственной паре (5.3), (5.4).

На экономическом языке этот результат можно интерпретировать следующим образом: допустимый план производства Х и допустимый вектор оценок ресурсов Y являются оптимальными в задачах (5.3), (5.4) в том и только в том случае, если прибыль от реализации плана Х равна стоимости (в ценах у) необходимых ресурсов. Добавим, что при неоптимальном плане производства ХХ^* для любого допустимого вектора оценок Y выполняется строгое неравенство <c,X> < <b,Y>, т.е. прибыль от реализации продукции меньше стоимости (ценности) необходимых ресурсов.

Докажем основной результат этого пункта.

Теорема 3. (равновесия). Для оптимальности допустимых планов Х, Y в двойственной паре (5.3), (5.4) необходимо и достаточно, чтобы

<AX - b,y>= 0, <АТу - с,х>= 0

(5.28)

Представим условия (5.11) в эквивалентной координатной форме.

Пусть āⁱ = (a_i1,a_i2,…….a_in) – i-тая строка матрицы А, i=1,…..m. Тогда основные ограничения прямой задачи (5.9) можно записать в виде:

<āⁱ,X> ≤ b_i, i=1,….,m.

Поскольку <āⁱ,X>b_i ≤ 0, у_i ≥ 0,

то должно быть (<āⁱ,X>b_i)у_i=0, i=1,….,m.

Аналогично обрабатывается второе равенство из (5.11).

В результате условия (5.11) представляются в эквивалентной координатной форме

(<āⁱ,X>b_i)у_i =0, i=1,….,m;

(<a^j,Y> - c_j)x_j = 0, j=1,……n.

Отсюда получаем набор соотношений (условий равновесия), характеризующих оптимальные планы (х,у) в двойственной паре (5.9), (5.10):

если <āⁱ,X> b_i < 0, то у_i =0;

если у_i > 0, то <āⁱ,X>b_i =0;

если <a ^j, y>- c_j > 0, то х_j =0;

если х_j >0, то <a ^j, y>- c_j = 0.

Дадим экономическую интерпретацию этим условиям в рамках задачи оптимального планирования производства. Пусть, как обычно, (Х^*,Y^*) – решение двойственной пары, т.е. х^* = (х^*₁,……х^*_n) – оптимальный план выпуска продукции (х^*_j –количество продукта Р_j, j=1,..n), у^*=(у^*₁,…..y^*_m) – оптимальный вектор двойственных оценок используемых ресурсов (y^*_j – оценка (ценность) ресурса R_i, i=1,….m).

Будем говорить, что ресурс R_i дефицитен (не дефицитен), если

<āⁱ,X^*> =b_i(<āⁱ,X^*> < b_i).

Иными словами, ресурс R_i дефицитен, если при оптимальном плане производства он используется в полном качестве. Тогда условия равновесия допускают следующее толкование (для х=х^*, у=у^*):

1. Если ресурс R_i не дефицитен, то его двойственная оценка равна нулю;

2. Если ресурс R_i имеет положительную двойственную оценку, то он является дефицитным;

3. Если оценка расхода ресурсов на единицу продукта Р_j больше соответствующей прибыли от реализации, то продукт Р_j при оптимальном планировании не производится;

4. Если продукт Р_j по оптимальному плану выпускается, то оценка расхода ресурсов на его производство равна прибыли от реализации.

На основании свойств 1), 2) заключаем, что двойственные оценки могут служить характеристикой дефицитности ресурсов. Свойства 3), 4) характеризуют структуру оптимального плана – какие продукты производятся (не производятся) и почему.