6.4.Представление сетевых задач как задач линейного программирования

Задачи о кратчайшем пути и максимальном потоке можно сформулировать как задачи линейного программирования. Следует, однако, подчеркнуть, что решение сетевых задач симпликс-методом едва ли целесообразно. С другой стороны, изучение формулировок сетевых задач как задач ЛП помогает идентифицировать модели ЛП, которые на первый взгляд не являются сетевыми, но которые либо непосредственно, либо с некоторыми модификациями можно свести к сетевым. Очевидное преимущество такого подхода состоит в том, что при использовании сетевых постановок эффективность вычислений может значительно увеличиться.

Модель линейного программирования для задачи о кратчайшем пути строится следующим образом.

1. Каждая переменная соответствует дуге.

2. Каждое ограничение соответствует узлу.

Пусть x_ij представляет величину потока по дуге (i, j). Тогда задача о кратчайшем пути в сети с n узлами формулируется как

min

при ограничениях

Ограничения модели линейного программирования соответствует формулировке задачи о кратчайшем пути как транспортной задачи с промежуточными пунктами, ранее рассмотренной. Единица потока доставляется из узла 1 в узел n. Первым и последним ограничениями устанавливается, что суммарный поток (сумма переменных), выходящий из узла 1, равен 1, как и суммарный поток, поступающий в узел n. В любом промежуточном узле суммарный входной поток равен суммарному выходному потоку. Целевая функция требует, чтобы общее расстояние, пройденное единицей потока, было минимальным.

Следует подчеркнуть, что данная постановка имеет реальный смысл, если x_ij = 0 или 1, т. е. дуга (i, j) принадлежит кратчайшему пути, только если x_ij = 1. Если x_ij = 0, то (i, j) не входит в кратчайший путь. Несмотря на то, что условия x_ij = 0 или 1 не отражены в модели в явном виде, её специальная структура всегда приводит к оптимальному решению, которое удовлетворяет этим требованиям. В самом деле, модель обладает свойством абсолютной унимодулярности, согласно которому в решении задачи линейного программирования всегда x_ij = 0 или 1 (сравните с моделью с прмежуточными пунктами).

Таким же образом к задаче линейного программирования можно свести задачу о максимальном потоке. Пусть y – поток из источника 1 в сток n. Обозначив поток в дуге (i, j) через x_ij, получим следующую модель линейного программирования:

Z = y max

при ограничениях

где u_ij обозначает пропускную способность дуги (i, j). Заметим, что ограничения строятся по той же схеме, которая использовалась для построения модели ЛП задачи о кратчайшем пути.

Глава 7.Применение сетевых моделей в транспортировке грузов

7.1. Определение кратчайших расстояний между пунктами транспортной сети

Исходными данными для определения кратчайших расстояний является транспортная сеть, представленная на рис. 7.1. Воспользуемся методом потенциалов. Сущность его состоит в следующем:

Алгоритм метода: Потенциал одной из вершин (назовем ее исходной, например, вершины А) принимают за 0, то есть РА=0. Далее по формуле (7.1) определяются потенциалы всех вершин, непосредственно связанных с ней. Рj = Рi + ℓij , (7.32) где i,j – текущие индексы соответственно исходной и непосредственно связанной с ней вершин; Рi – потенциал исходной вершины, км; Рj – потенциал вершины, непосредственно связанной с исходной, км; ℓij – длина звена между исходной и непосредственно связанной с ней вершинами i и j, км. Из всех рассчитанных таким образом потенциалов выбирается наименьший, его значение записывается в таблицу кратчайших расстояний, а соответствующее звено на рисунке отмечается стрелкой. Вершина с наименьшим потенциалом принимается за исходную, от нее вновь определяются потенциалы всех вершин, непосредственно связанных с ней. Просматриваются все известные к этому моменту потенциалы (определенные как на предыдущем, так и на данном этапе), из них вновь выбирается наименьший, его значение заносится в эту же таблицу, а соответствующее звено на рисунке отмечается стрелкой. Таким образом, расчеты повторяются до полного заполнения таблицы и рисунка.

Кратчайшее расстояние между пунктами находим методом потенциалов. На данной транспортной сети (рис. 7.1) нет никаких ограничений по организации дорожного движения, то есть расстояние между пунктами А и И равно расстоянию между пунктами И и А. Таким образом, матрица кратчайших расстояний получается симметричной, поэтому в табл. 103 будем заполнять только верхнюю правую половину.

Рис. 7.17. Транспортная сеть

Полагаем Р_А = 0.

Вершина А непосредственно связана с вершинами: Д, Б, В. Найдем потенциалы этих вершин:

Р_Б = Р_А + ℓ_АБ = 0+8=8

Р_В = Р_А + ℓ_АВ = 0+2=2

Р_Д = Р_А + ℓ_АД = 0+3=3

Из всех найденных потенциалов выбираем наименьший, им является потенциал вершины В. Р_В =2. Его значение заносим в матрицу кратчайших расстояний, соответствующее звено на рисунке отмечаем стрелкой.

Исходной принимаем вершину В, с которой связаны вершины Д, Б,Г, Е, З, Ж.

Р_В =2

Р_Б = Р_В+ ℓ_ВБ = 2+4=6

Р_Д = Р_В+ ℓ_АВД = 2+12=14

Р_Г = Р_В + 7 = 2 + 7 = 9

Р_З = Р_В + 2= 2 + 2 = 4

Р_Ж = Р_В + 15 = 2 + 15 = 17

Р_Е = Р_В + 6 = 2 + 6 = 8

Из всех найденных потенциалов выбираем наименьший, им является потенциал вершины Д. Р_Д =3. Так как найден еще один потенциал вершины Д через вершину В и он оказался больше Р_Д =3, то его в дальнейших расчетах не рассматриваем. Значение выбранного потенциала заносим в матрицу кратчайших расстояний, соответствующее звено на рисунке отмечаем стрелкой.

С вершиной Д связаны вершины К, Е.

Р_Д =3

Р_К = Р_д+ ℓ_ДК = 3+8=11

Р_Е= Р_Д+ ℓ_ДЕ = 3+4=7

Из всех найденных потенциалов выбираем наименьший, им является потенциал вершины З. Р_З =4. Его значение заносим в матрицу кратчайших расстояний, соответствующее звено на рисунке отмечаем стрелкой.

С вершиной З связаны вершины Г, Ж, М, И:

Р_З =4

Р_Г = Р_З + 10 = 4 + 10 = 14

Р_Ж = Р_З + 7 = 4 + 7 = 11

Р_М = Р_З + 14 = 4 + 14 = 18

Р_И = Р_З + 5 = 4 +5 = 9

Из всех найденных потенциалов выбираем наименьший, им является потенциал вершины Б. Р_Б =6. Так как найден еще один потенциал вершины Б через вершину А и он оказался больше Р_Б =6, то его вычеркиваем и в дальнейших расчетах не рассматриваем. Значение выбранного потенциала заносим в матрицу кратчайших расстояний, соответствующее звено на рисунке отмечаем стрелкой. С вершиной Б связаны вершины Г и В, однако до вершины В уже найдено наименьшее значение и занесено в таблицу, поэтому определяем потенциал только до вершины Г.

Р_Б =6

Р_Г=Р_Б +6=12

Из всех найденных потенциалов выбираем наименьший, им является потенциал вершины Е. Р_Е =7. Его значение заносим в матрицу кратчайших расстояний, соответствующее звено на рисунке отмечаем стрелкой. С вершиной Е связаны вершины Д, К, Л, М и Ж. До вершины Д уже найдено наименьшее значение и занесено в таблицу, поэтому определяем потенциалы оставшихся вершин.

Р_Е =7

Р_К= Р_Е +9=16

Р_Л= Р_Е +3=10

Р_М= Р_Е +16=23

Р_Ж= Р_Е +8=15

Из всех найденных потенциалов выбираем наименьший, им является потенциал вершины Г. Р_Г =9. Так как найдены еще потенциалы вершины Г через вершину З и Б, и они оказались больше Р_Г=9, то их в дальнейших расчетах не рассматриваем. Его значение заносим в матрицу кратчайших расстояний, соответствующее звено на рисунке отмечаем стрелкой. С вершиной Г связаны вершины Б, В и З. До вершины Б и В уже найдены наименьшие значения и занесены в таблицу, поэтому определяем потенциал вершины З.

Р_Г =9

Р_З=Р_Г+10=19

Из всех найденных потенциалов выбираем наименьший, им является потенциал вершины И. Р_И =9. Его значение заносим в матрицу кратчайших расстояний, соответствующее звено на рисунке отмечаем стрелкой. С вершиной И связана вершина Н.

Р_И=9

Р_Н=Р_И+9=19

Из всех найденных потенциалов выбираем наименьший, им является потенциал вершины Л. Р_Л =10. Его значение заносим в матрицу кратчайших расстояний, соответствующее звено на рисунке отмечаем стрелкой. С вершиной Л связаны вершины К и М.

Р_Л =10

Р_К=Р_Л+4=14

Р_М =Р_Л+10=20

Из всех найденных потенциалов выбираем наименьший, им является потенциал вершины Ж. Р_Ж =11. Так как найдены еще потенциалы вершины Ж через вершину В и Е, и они оказались больше Р_Ж=11, то их в дальнейших расчетах не рассматриваем. Значение заносим в матрицу кратчайших расстояний, соответствующее звено на рисунке отмечаем стрелкой. С вершиной Ж связаны вершины Е, В, З и М. До вершины Е, З и В уже найдены наименьшие значения и занесены в таблицу, поэтому определяем потенциал вершины М.

Р_Ж =11

Р_М=Р_Ж+12=23

Из всех найденных потенциалов выбираем наименьший, им является потенциал вершины К. Р_К =11. Так как найдены еще потенциалы вершины К через вершину Л и Е, и они оказались больше Р_К=11, то их в дальнейших расчетах не рассматриваем. Значение заносим в матрицу кратчайших расстояний, соответствующее звено на рисунке отмечаем стрелкой. С вершиной К связаны вершины Е, Д и Л. До всех из них наименьшие значения найдены.

Выбираем следующий наименьший потенциал, им является потенциал вершины М. Р_М =18. Так как найдены еще потенциалы вершины М через вершину Л и Е, и они оказались больше Р_М=18, то их в дальнейших расчетах не рассматриваем. С вершиной М связаны вершины Е, Ж, З, Л и Н. До вершины Е,Ж, З и Л уже найдены наименьшие значения и занесены в таблицу, поэтому определяем потенциал вершины Н.

Р_М =18

Р_Н=Р_М+8=26

Выбираем последний наименьший потенциал, им является потенциал вершины Н. Р_Н =18.

Таким образом, выбирая на каждом этапе минимальный потенциал, можно с абсолютной уверенностью гарантировать определение кратчайших расстояний и путей проезда от вершины А до всех остальных вершин данной транспортной сети (рис. 6.2).

Далее потенциал следующей вершины, например Б, принимается за 0 и все расчеты повторяются аналогично.

Рис. 7.18. Кратчайшие расстояния от пункта А

Таблица 103

Матрица кратчайших расстояний

	А	Б	В	Г	Д	Е	Ж	З	И	К	Л	М	Н
А		6	2	9	3	7	11	4	9	11	10	18	18
Б			4	6	9	10	13	6	11	17	13	20	20
В				7	5	6	9	2	7	13	9	16	16
Г					12	13	16	9	14	20	16	23	23
Д						4	12	7	12	8	7	17	21
Е							8	8	13	7	3	13	21
Ж								7	12	15	11	12	20
З									5	15	11	14	14
И										20	16	17	9
К											4	14	22
Л												10	18
М													8
Н