5.3. Примеры формулировок двойственных задач

Пример 5.0:

Прямая задача:

f₀=5х₁+12х₂+4х₃ → maх

при ограничениях:

х ₁+2х₂+х₃≤10

2х₁ х₂+3х₃=8

х₁, х₂, х₃ ≥ 0

В канонической форме прямая задача

f₀=5х₁+12х₂+4х₃+0х₄ mах

х ₁+2х₂+х₃+х₄ = 10 y₁

2х₁х₂+3х₃+ 0х₄ =8 y₂

х_i ≥ 0 i=1,2,..,4

Двойственная задача:

W = 10y₁+ 8y₂ → min

при ограничениях:

х ₁: y₁+2y₂ ≥5

х₂: +y₁y₂ ≥ 12

х₃: y₁+3y₂ ≥4

х₄: y₁+0y₂ ≥0

y₁≥0 , y₂ – не ограничена в знаке

Пример 5.0:

Прямая задача:

В стандартной форме f0=5х12х2min	В канонической форме f0 = 5х1–2х2+0х3+0х4min
при ограничениях	при ограничениях
- х1+х2≥+3 (1)(-1)	х 1х2+х3 = -3 y1
2х1+3х2  5 (2)	2х1+3х2+х4=5 y2
х1, х2 0	хi 0, i=1,2,...,4

Двойственная задача:

W = -3y₁+5y₂  max

при ограничениях

х₁: y₁+2y₂ ≤5

х₂: -y₁+3y₂ ≤-2

х₃: y₁≤0

х₄: y₂ ≤0

Пример 5.0:

Прямая задача:

f₀=5х₁ + 6х₂ max

при ограничениях

х ₁ + 2х₂ = 5

-х₁+5х₂ ≤ 3

4х₁ +7х₂ ≤ 8

х₂≤ 0

х₁ не ограничен в знаке

Заменим х₁=u–v, где u≥0, v≥0. Тогда

f₀ =5u –5v + 6x₂max

u– v + 2x₂=5 y₁

- u + v +5x₂ –x₃= 3 y₂

4u – 4v +7x₂ +x₄ = 8 y₃

u, v, x_i  0, i=2, 3, 4

Двойственная задача:

W = 5y₁+3y₂+8y₃min

п ри ограничениях

u: y₁y₂+4y₃ ≥5 (1)

v: y₁+y₂4y₃ ≥5 или y₁y₂+4y₃ ≤ 5 (2)

x₂: 2y₁+5y₂+7y₃ ≥6 (3)

x₃: y₂ ≥ 0 (4)

x₄: y₃≥ 0 (5)

y₁ не ограничен в знаке.

Заметим, что ограничения (1) и (2) двойственной задачи можно заменить одним ограничением в виде равенства y₁–у₂+4у₃=5. Такая замена возможна всякий раз, когда переменная прямой задачи не ограничена в знаке.

Пример 5.0:

Прямая задача:

В стандартной форме f0=5х12х2min	В канонической форме f0 = 5х1–2х2+ MR min (M - штраф за использование R)
при ограничениях	при ограничениях
- х1+х2≥3 (1)	х 1+х2х3+R=3 y1
2х1+3х2  5 (2)	2х1+3х2+х4=5 y2
х1, х2 0	хi 0, i=1,2,...,4

Двойственная задача:

W = 3y₁ +5y₂ max

п ри ограничениях

х₁: -y₁+2y₂≤ 5

х₂: y₁+3y₂ ≤ -2

х₃: -y₁≤ 0 или y₁≥ 0

х₄: y₂≤ 0

R: y₁≤ M т.е. y₁≥0,

y₂ – не ограничена в знаке.

5.4. Симметричная и несимметричная двойственные пары. Основы теории двойственности

Представим задачи (5.1), (5.2) в векторно-матричной форме (5.3) и (5.4).

<c,X>→мах, AX ≤ b, X ≥ 0,	(5.20)
<b,Y>→min, ATy ≥ c, Y ≥ 0	(5.21)

Здесь A^T – транспортированная матрица А. Отметим характерные структурные связи между задачами (5.3) и (5.4):

1) Число переменных двойственной задачи равно числу основных ограничений прямой задачи;

2) Число ограничений двойственной задачи равно числу переменных прямой задачи;

3) Матрица условий двойственной задачи равна транспортированной матрице условий прямой задачи;

4) Вектор ограничений прямой задачи является целевым вектором двойственной задачи;

5) Целевой вектор прямой задачи является вектором ограничений двойственной задачи;

6) При переходе к двойственной задаче направление оптимизации меняется на противоположенное, а знаки ограничений двойственной задачи выбираются согласно табл. 77.

Нетрудно видеть, что задача (5.3) является, в свою очередь, двойственной по отношению к задаче (5.4) (предварительно следует представить задачу (5.4) в канонической форме). Иными словами эти задачи взаимно двойственны. Назовем их симметричной двойственной парой задач линейного программирования.

Установим простейшие свойства пары (5.3), (5.4). Введем множество допустимых планов.

D = (X є Rⁿ: AX ≤ b, X ≥ 0),

Q = (Y є R^m: A^TX ≥ c, Y ≥ 0).

Лемма 1. Для любой пары допустимых планов X є D, Y є Q выполняется неравенство: <c,X> ≤ <b,Y>.

Доказательство: Используя ограничения двойственной пары задач и свойства скалярного произведения, получаем:

<c,X> ≤ <A^T Y,X> = <y,AX> ≤ <b,Y>. Лемма доказана.

Следствие 1. Если D≠Ǿ и целевая функция <c,X> не ограничена сверху на D, то Q≠Ǿ.

Следствие 2. Если Q≠Ǿ и целевая функция <b,Y> не ограничена снизу на Q, то D≠Ǿ.

Лемма 2. Пусть X^о є D, Y^о є Q, причем <c,X^о>=<b,Y^о>. Тогда X^о – решение прямой задачи, Y^о – решение двойственной задачи.

Доказательство: На основании леммы 1 <c,X> ≤ <b,Y^о> = <c,X^о> для всех X є D. Это означает, что X^о – решение прямой задачи. Аналогично, <b,Y> ≥ <c,X^о> = <b,Y^о> для всех Y є Q, т.е. Y^о - решение двойственной задачи. Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть в двойственной паре (5.3) и (5.4) допустимые множества не пусты: D≠Ǿ, Q≠Ǿ. Тогда прямая и двойственная задачи имеют решения.

Доказательство: докажем разрешимость прямой задачи. Пусть Y є Q – допустимый план. Тогда <c,X> ≤ <b,Y> для всех X є D, т. е. целевая функция прямой задачи ограничена сверху на D. Отсюда на основании теории симплекс-метода заключаем, что прямая задача имеет решение. Аналогичные рассуждения проходят и для двойственной задачи. Лемма доказана.

Рассмотрим задачу линейного программирования в канонической постановке (5.5).

<c,X> mах,	(5.22)

В векторно-матричной форме двойственная задача имеет вид (5.6).

<b,Y>  min, АуТ  с

(5.23)

Задачу (5.6) называют двойственной по отношению к канонической задаче (5.5). Отметим, что в (5.6) нет условий неотрицательности и двойственные переменные неограниченны в знаке.

Согласно построению значения задач (5.5), (5.6) совпадают, т.е. фактически доказана следующая теорема.