7.3.2. Определение очередности объезда пунктов маршрута

Этот этап имеет целью связать все пункты маршрута, начиная с пункта А, такой замкнутой линией, которой соответствует кратчайший путь объезда этих пунктов.

Известно несколько методов расчета кратчайшего объезда заданных пунктов. Как правило, все они являются приближенными методами.

Для решения этой задачи можно применить метод "ветвей и границ", использованный для решения задачи коммивояжера или метод «суммирования по столбцам».

Рассмотрим метод "суммирования по столбцам". Этот метод применяется для составления маршрутов при известном наборе пунктов, включаемых в каждый маршрут, и при симметричной матрице расстояний.

Составим матрицу расстояний для первого маршрута и подсчитаем сумму расстояний по каждому столбцу

Суть метода. Составление маршрута начинается с выбора трех пунктов с наибольшим суммарным расстоянием, эти пункты образуют так называемый исходный маршрут. Оставшиеся пункты включаются в исходный маршрут по мере уменьшения суммарного расстояния. Целесообразность включения определяется приращением длины исходного маршрута.

Продолжим рассматривать пример. Применим метод "суммирования по столбцам". Составим матрицу расстояний для первого маршрута и подсчитаем сумму расстояний по каждому столбцу (таблица 130).

Таблица 130

Матрица расстояний и суммы столбцов для первого маршрута

	А	В	Ж	З	И	М	Н
А	---	2	11	4	9	18	18
В	2	---	9	2	7	16	16
Ж	11	9	---	7	12	12	20
З	4	2	7	---	5	14	14
И	9	7	12	5	---	17	9
М	18	16	12	14	17	---	8
Н	16	16	20	14	9	8	---
Сумма	60	52	71	46	59	85	85
Порядковый номер по убыванию	4	6	3	7	5	1	2

Составление маршрута начинается с выбора трех пунктов с наибольшей суммой. В табл. 130 это пункты М, Н, и Ж. Они образуют исходный маршрут, в который должны быть включены все оставшиеся пункты по мере убывания суммарного расстояния. Отсюда исходный маршрут: М-Н-Ж-М, его длина 40 км.

Первым включается пункт, которому соответствует наибольшая сумма столбцов в матрице расстояний в данном случае пункт А (сумма расстояний равна 60) таким образом, чтобы приращение длины исходного маршрута было минимальным. На схеме видно между какими точками маршрута следует включить пункт А, однако на практике не всегда есть возможность использовать схему и, кроме того расстояния между пунктами обычно определяются по улицам, а не по прямой. Поэтому, чтобы найти место для включения пункта в начальный маршрут, будем включать его последовательно между каждой парой соседних пунктов начального маршрута: между М и Н, Н и Ж, Ж и М. При этом для каждой пары пунктов будем рассчитывать величину приращения длины маршрута по формуле:

Dlkp= lki+liplkp,

(7.33)

где l- расстояние , км; i- индекс включаемого пункта; k, p- индексы первого и второго пунктов из пары.

Приращения характеризуют суммы расстояний от точки А к двум соседним точкам, входящим в исходный маршрут, за вычетом звена, которое вследствие включения пункта А из маршрута выпадет.

М-А-Н-Ж-М, Dl_МН =l_МА+l_АНl_МН=18+168= 26км;

М-Н-А-Ж-М, Dl_НЖ =l_НА+l_АЖl_НЖ=16+1120=7 км;

М-Н-Ж-А-М, Dl_ЖМ =l_ЖА+l_АМl_ЖМ=11+1812=17 км.

Таким образом, пункт А нужно включить между Н и Ж. Следующим включаем пункт И (сумма 59).

М-И-Н-А-Ж-М, Dl_МН =l_МИ+l_ИНl_МН=17+98=18 км;

М-Н-И-А-Ж-М, Dl_НА =l_НИ+l_ИАl_НА=9+916=2 км;

М-Н-А-И-Ж-М, Dl_АЖ =l_АИ+l_ИЖl_АЖ=9+1211=10 км;

М-Н-А-Ж-И-М, Dl_ЖМ =l_ЖИ+l_ИМl_ЖМ=12+1712=17 км.

Таким образом, пункт И нужно включить между Н и А. Следующим включаем пункт В (сумма 52).

М-В-Н-И-А-Ж-М, Dl_МН =l_МВ+l_ВНl_МН=16+168=24 км;

М-Н-В-И-А-Ж-М, Dl_НИ =l_НВ+l_ВИl_НИ=16+79=14 км;

М-Н-И-В-А-Ж-М, Dl_ИА =l_ИВ+l_ВАl_ИА=7+29=0 км;

М-Н-И-А-В-Ж-М, Dl_АЖ =l_АВ+l_ВЖl_АЖ=2+911=0 км;

М-Н-И-А-Ж-В-М, Dl_ЖМ =l_ЖВ+l_ВМ-l_ЖМ=9+1612=13 км.

Наименьшее приращение имеют два варианта, можно выбрать любой из них. Таким образом, пункт В нужно включить между И и А. Следующим включаем пункт З (сумма 46).

М-З-Н-И-В-А-Ж-М, Dl_МН =l_МЗ+l_ЗНl_МН=14+148=20 км;

М-Н-З-И-В-А-Ж-М, Dl_НИ =l_НЗ+l_ЗИl_НИ=14+59=10 км;

М-Н-И-З-В-А-Ж-М, Dl_ИВ =l_ИЗ +l_ЗВl_ИВ=5+2-7=0 км;

М-Н-И-В-З-А-Ж-М, Dl_ВА =l_ВЗ+l_ЗАl_ВА=2+42=4 км;

М-Н-И-В-А-З-Ж-М, Dl_АЖ =l_АЗ+l_ЗЖl_АЖ=4+711=0 км;

М-Н-И-В-А-Ж-З-М, Dl_ЖМ =l_ЖЗ+l_ЗМl_ЖМ=7+1412=9 км.

Наименьше нулевое приращение имеют два маршрута, перепишем их, начиная с начального пункта А и рассчитаем их длину:

1. А-Ж-М-Н-И-З-В-А L=11+12+8+9+5+2+2=49 км.

2. А-З-Ж-М-Н-И-В-А L=4+7+12+8+9+7+2=49 км.

Таким образом, получили маршруты на 9 км короче исходного. Определим последовательность объезда пунктов во втором маршруте таким же образом.

Таблица 131