6.1.Примеры применения модели о кратчайшем пути

Пример 6.0: Замена оборудования

Фирма по прокату автомобилей планирует замену автомобильного парка на очередные пять лет. Автомобиль должен проработать не менее одного года, прежде чем фирма поставит вопрос о его замене. В табл. 78 приведены стоимости замены автомобилей (в тысячах долларах), зависящие от времени замены и числа лет, в течение которых автомобиль находился в эксплуатации.

Таблица 78

Год		Стоимость замены
		1	2	3	4	5
	1		4,0	5,4	9,8	13,7
	2			4,3	6,2	8,1
	3				4,8	7,1
	4					4,9

Эту задачу можно представить на сети в следующем виде. Каждому году ставится в соответствие определённый узел. «Длина» дуги, соединяющей два узла, равна соответствующей стоимости замены из табл. 78.

Сеть изображена на рис. 6.1. Задача сводится к нахождению кратчайшего «пути» между узлами 1 и 5. Кратчайший «путь» можно определить, используя алгоритм, который будет изложен ниже.

Рис. 6.9. Сетевая модель задачи о замене оборудования

Оптимальное решение даёт путь 1→2→5 со стоимостью 4+8,1=12, тыс. долл. Это означает, что каждый автомобиль заменяется через два года, а через пять – списывается.

Пример 6.0: Наиболее надёжный маршрут

Женщина ежедневно ездит из дома на работу в автомобиле. Имея необходимую подготовку в области сетевого анализа, она смогла определить кратчайший путь от дома до работы, однако, к своему сожалению, вскоре обнаружила, что этот путь усиленно патрулируется полицией, которая постоянно останавливает её за превышение скорости, причём, как ей кажется, безосновательно (особенно когда она опаздывает на работу).

После многочисленных штрафов (и чувствуя, что вставать рано очень трудно) женщина пришла к заключению, что кратчайший путь не самый экономный. Поэтому она решила рассмотреть задачу под несколько иным углом зрения и выбрать такой маршрут, на котором полная вероятность того, что полиция не оставит её, будет максимальной. Рассмотрим все возможные участки дорог, ведущих от её дома до места работы, она получила вероятности, указанные на дугах сети (участки дороги) на рис. 6.2. (Дуги в этом случае называются направленными, или ориентированными, поскольку женщина должна двигаться в определённом направлении – к месту работы.)

Исследование данных вероятностей показало, что полная вероятность не быть остановленной полицейскими на маршруте равна произведению вероятностей, соответствующих участкам дороги, которые составляют данный маршрут.

Рис. 6.10. Пример сети с циклами

Например, вероятность, соответствующая маршруту 1→2→3→4→5→7, равна 0,2 0,6 0,3 0,25 = 0,009. Разумеется, можно вычислить вероятности всех маршрутов (в данном случае их восемь), но женщина решает свести задачу к задаче о кратчайшем пути, используя следующее преобразование. Пусть Р_1k = P₁ P₂ … P_k – вероятность не быть остановленной на пути (1, k). Тогда log Р_1k = log P₁ + log P₂ +…+ log P_k .

Алгебраическая максимизация Р_1k эквивалентна максимизации logР_1k и, следовательно, максимизации суммы логарифмов вероятностей для отдельных участков выбранного маршрута. Поскольку log Р_j ≤ 0, j = 1,2,…,k, максимизация суммы logР_j эквивалентна минимизации суммы (-log Р_1k). В табл. 79 приведены вероятности для участков сети и их логарифмы.

Таблица 79

Участок дороги (i, j)	Pij	log Pij	-log Pij
(1, 2)	0,2	-0,69897	0,69897
(1, 3)	0,9	-0,04576	0,04576
(2, 3)	0,6	-0,22185	0,22185
(2, 4)	0,8	-0,09691	0,09691
(3, 4)	0,1	-0,1	0,1
(3, 5)	0,3	-0,52288	0,52288
(4. 5)	0,4	-0,39794	0,39794
(4, 6)	0,35	-0,45593	0,45593
(5, 7)	0,25	-0,60206	0,60206
(6, 7)	0,5	-0,30103	0,30103

По данным таблицы можно сделать вывод, что наиболее безопасным и кратчайшим путем является путь 1-3-5-7.