Глава 1.Постановка транспортных задач

Транспортная модель используется для составления наиболее экономичного плана перевозок одного вида продукции из нескольких пунктов (например, заводов) в пункты доставки (например, склады). Транспортную модель можно применять при рассмотрении ряда практических ситуаций, связанных с управлением запасами, составлением сменных графиков, назначением служащих на рабочие места, оборотом наличного капитала, регулированием расхода воды в водохранилищах и многими другими.

Транспортная задача, по существу, представляет собой задачу линейного программирования, которую можно решать симплекс - методом. Однако специфическая структура условий задачи позволяет разработать более эффективные вычислительные методы. Транспортная модель имеет ряд важных приложений, в число которых входят задача о назначениях и задача с промежуточными пунктами. В то же время транспортная модель и ее обобщения представляют собой частные случаи сетевых моделей.

1.1.Однопродуктовая транспортная модель

Транспортная модель используется при разработке плана перевозок одного вида продукции из пунктов производства в пункты назначения. При построении модели используются:

1. величины , характеризующие объем производства в каждом исходном пункте и - спрос в каждом пункте назначения;

2. - стоимость перевозки единицы продукции из каждого i-го исходного пункта ( ) в каждый j-й ( ) пункт назначения;

3. - величина перевозимого груза по маршруту i завод – j пункт назначения.

Рис. 1.1. Транспортная модель в виде сети

Поскольку рассматривается только один вид продукции, потребности пункта назначения могут удовлетворяться за счет поставок из любых исходных пунктов. Цель построения модели состоит в определении количества продукции, которое следует перевезти из каждого исходного пункта в каждый пункт назначения, с тем, чтобы общие транспортные расходы были минимальными.

Основное предположение, используемое при построении модели, состоит в том, что величина транспортных расходов на каждом маршруте прямо пропорциональна объему перевозимой продукции. На рисунке 1.1 изображена транспортная модель в виде сети с m исходными пунктами и n пунктами назначения. Исходным пунктам и пунктам назначения соответствуют вершины сети.

Дуга, соединяющая исходный пункт с пунктом назначения представляет маршрут, по которому перевозится продукция.

В принятых обозначениях задача линейного программирования транспортного типа в общем виде формулируется следующим образом: найти план перевозки грузов (1.1), минимизирующий суммарные транспортные расходы z (1.2) при условии, что суммарный объем вывозимого груза с каждого завода не может превышать объема произведенной продукции (1.3), а суммарное количество продукции, поступающее в каждый пункт потребления должно полностью удовлетворить спрос на эту продукцию (1.4).

(1.0)

Тогда математическая модель транспортной задачи запишется в виде:

(1.0)

при ограничениях:

(1.0) (1.0) (1.0)

Условие (1.5) называется условием неотрицательности.

Из представленной модели видно, что суммарный объем производства в исходных пунктах не должен быть меньше суммарного спроса в пунктах назначения .

Если выполняется условие (1.6), то транспортная модель называется сбалансированной (закрытой) транспортной моделью. Для сбалансированной транспортной модели ограничения (1.3) и (1.4) превращаются в строгие равенства (1.7).

,	(1.0)
,	(1.0)

Теорема. Любая транспортная задача, у которой суммарный объем запасов совпадает с суммарным спросом, имеет решение.

Пример 1.1: Заводы автомобильной фирмы МG расположены в Лос-Анджелесе, Детройте и Новом Орлеане. Основные центры распределения продукции сосредоточены в Денвере и Майами. Объемы производства указанных трех заводов равняются 1000, 1500 и 1200 автомобилей ежеквартально. Величины квартального спроса в центрах распределения составляют 2300 и 1400 автомобилей соответственно. Стоимость перевозки по железной дороге одного автомобиля на одну милю равняется примерно 8 центам (0,08 долл.). Расстояния в милях между заводами и центрами распределения приведены в табл.1.

Таблица 1

Заводы	Центры распределения
	Денвер	Майами
Лос-Анджелес	1000	2690
Детройт	1250	1350
Новый Орлеан	1275	850

В табл. 2 указаны величины стоимости перевозки одного автомобиля с i-го завода в j-й центр распределения:

Таблица 2

Заводы	Центры распределения
	Денвер	Майами
Лос-Анджелес	80	215
Детройт	100	108
Новый Орлеан	102	68

Обозначим количество автомобилей, перевозимых из исходного пункта i в пункт назначения j через х_ij. Поскольку суммарный объем производства автомобилей (1000+1500+1200=3700) равен суммарному спросу (2300+1400=3700), данная модель является сбалансированной транспортной задачей. Математическая модель:

f = 80x₁₁+215x₁₂+100x₂₁+108x₂₂+102x₃₁+68x₃₂

при ограничениях:

x₁₁+x₁₂ = 1000

x₂₁+x₂₂ = 1500

x₃₁+x₃₂ = 1200

x₁₁+x₂₁+x₃₁ = 2300

x₁₂+x₂₂+x₃₂=1400

x_ij 0, i=1,2,3; j=1,2

Более компактный способ представления транспортной модели связан с использованием так называемой транспортной таблицы, имеющей вид матрицы, строки которой соответствуют исходным пунктам, а столбцы - пунктам назначения. Коэффициенты стоимости с_ij расположены в правом верхнем углу каждой ячейки (i,j). Модель фирмы МG можно представить в виде табл. 3.

Таблица 3

Заводы	Центры распределения
	Денвер	Майами
Лос-Анджелес	80	215	1000
Детройт	100	108	1500
Новый Орлеан	102	68	1200
	2300	1400

В реальных условиях не всегда объем производства равен спросу или превосходит его. Однако транспортную модель всегда можно сбалансировать.

Пример 1.2: Изменим условия в примере 1.1, предположив, что завод в Новом-Орлеане производит не 1500, а 1300 автомобилей. Это приведет к дисбалансу, поскольку суммарный объем производства (3500) не равен суммарному спросу (3700). Другими словами, дисбаланс означает, что спрос в центрах распределения полностью удовлетворить не удается. В этом случае необходимо видоизменить транспортную модель таким образом, чтобы недостаток автомобилей (3700-3500=200) оптимально распределялся между центрами, в которые поступают автомобили.

Поскольку спрос превышает объем производства, можно ввести дополнительный фиктивный исходный пункт (завод) с производительностью в 200 автомобилей.

Поскольку на самом деле фиктивного завода не существует, никакие перевозки не осуществляются, и соответствующая стоимость перевозки единицы продукции равна нулю. Однако эту ситуацию можно рассмотреть и по-другому, считая, что каждая единица недопоставленной в центры распределения продукции облагается штрафом. В этом случае транспортные расходы на единицу продукции равны штрафу за единицу продукции, недополученную в том или ином центре распределения.

Таблица 4

Заводы	Центры распределения
	Денвер	Майами
Лос-Анджелес	80	215	1000
Детройт	100	108	1300
Новый Орлеан	102	68	1200
Фиктивный завод	0	0	200
	2300	1400

Аналогично, если объем производства превышает спрос, можно ввести дополнительный фиктивный пункт назначения, который "поглощает" избыток продукции. Пусть в примере 1.1 спрос в Денвере упал до 1900 автомобилей. В табл. 5 представлена модель с фиктивным центром распределения.

Автомобили, поступающие с некоторого завода в фиктивный центр распределения, представляют избыток производства на этом заводе. Соответствующая стоимость перевозки одного автомобиля в фиктивный центр распределения равна нулю. Однако можно назначить штраф за хранение автомобиля на складе завода, тогда стоимость перевозки одного автомобиля для фиктивного центра распределения станет равной стоимости его хранения.

Таблица 5

Заводы	Центры распределения		Фиктивный центр распределения
	Денвер	Майами
Лос-Анджелес	80	215	0	1000
Детройт	100	108	0	1300
Новый Орлеан	102	68	0	1200
	1900	1400	400