- •Содержание
- •Глава 1. Постановка транспортных задач 6
- •Глава 2. Определение оптимального плана транспортных задач 28
- •Введение
- •Глава 1.Постановка транспортных задач
- •1.1.Однопродуктовая транспортная модель
- •1.2.Многопродуктовая транспортная модель
- •1.3.Модель производства с запасами
- •1.4. Методы построения опорного плана
- •1.4.1. Метод северо-западного угла
- •1.4.2.Метод минимальной стоимости
- •1.4.3.Метод двойного предпочтения
- •1.4.4.Приближенный метод Фогеля
- •Глава 2.Определение оптимального плана транспортных задач
- •2.1.Решение транспортной задачи методом моди
- •2.2.Дельта-метод решения транспортной задачи
- •2.3.Решение задач закрепления потребителей за поставщиками и клиентуры за автотранспортными предприятиями с учетом дополнительных требований
- •2.3.1.Ограничения в поставках
- •2.3.2.Несбалансированное наличие и потребности
- •2.3.3.Задача закрепления при учете взаимозаменяемости автомобилей
- •2.3.4.Задача на минимизацию времени доставки груза
- •Глава 3.Задача о назначениях
- •3.1.Постановка задачи о назначениях
- •3.2.Венгерский метод решения задачи о назначениях
- •3.3.Применение задачи о назначениях к решению экономических проблем
- •Глава 4.Оптимальное планирование грузооборота
- •4.1.Транспортная сеть и характеристика перевозимых грузов
- •Объёмы потребления грузов
- •Объёмы производства песка
- •4.2.Оптимальное планирование грузоперевозок
- •4.3.Маршрутизация перевозок грузов при помашинных отправках
- •4.4.Составление кольцевых и маятниковых маршрутов
- •Глава 5.Оптимальное планирование работы автобусного парка
- •5.1.Постановка задачи
- •5.2.Двойственная задача линейного программирования
- •5.3. Примеры формулировок двойственных задач
- •5.4. Симметричная и несимметричная двойственные пары. Основы теории двойственности
- •Основная теорема теории двойственности
- •5.5. Условия равновесия в симметричной паре. Экономическая интерпретация
- •5.6.Решение задачи оптимального планирования работы автопарка
- •Глава 6.Область применения сетевых транспортных задач
- •6.1.Примеры применения модели о кратчайшем пути
- •6.2.Алгоритмы нахождения кратчайшего пути
- •6.2.1.Алгоритм для сетей без циклов
- •6.2.2.Алгоритм для сетей с циклами
- •6.2.3.Алгоритм Флойда
- •6.3.Алгоритм нахождения максимального потока в сети
- •6.4.Представление сетевых задач как задач линейного программирования
- •Глава 7.Применение сетевых моделей в транспортировке грузов
- •7.1. Определение кратчайших расстояний между пунктами транспортной сети
- •7.2. Решение задачи коммивояжера методом "ветвей и границ"
- •7.3. Определение развозочных маршрутов для перевозки мелких партий грузов
- •7.3.1. Нахождение кратчайшей связывающей все пункты сети и набор пунктов в маршруты
- •7.3.2. Определение очередности объезда пунктов маршрута
- •Матрица кратчайших расстояний 2-го маршрута
- •7.4. Определение развозочных маршрутов для мелких партий грузов методом Кларка Райта
- •Список литературы
Глава 5.Оптимальное планирование работы автобусного парка
5.1.Постановка задачи
Исследуется возможность более рациональной организации работы городского автобусного парка с целью снижения интенсивности городского движения. Сбор и обработка необходимой информации позволяет сделать вывод, что минимальное количество автобусов на линии, удовлетворяющее потребности в перевозках, существенно меняется в течение суток. Оказалось, что требуемое количество автобусов можно считать величиной постоянной в пределах каждого из следующих друг за другом четырех интервалов времени t (рис. 5.1).
C учетом необходимых затрат времени на текущий ремонт и обслуживание непрерывное использование автобусов на линии должно продолжаться по 8 часов в сутки.
Рис. 5.7 Требуемое количество автобусов в течение суток
Словесная формулировка задачи
Требуется определить количество автобусов в каждой из смен (переменные), которое должно быть не меньше минимальной потребности в них (ограничения) при условии, что общее количество автобусов, выходящих на линию в течение суток, будет минимальным (целевая функция).
Математическая формулировка задачи
Известно, что продолжительность смены 8 часов, однако неизвестно, когда должна начинаться та или иная смена. Если ориентироваться на общепринятый трехсменный график работы (8:01−16:00), (16:01−24:00), (24:01−8:00) и обозначить количество автобусов, выходящих на линию в 1, 2 и 3 смены через х1, х2, х3 соответственно, то из рис. 5.1 видно, что х110; х212; х38, поэтому общее минимальное количество используемых автобусов равно: х1+ х2+ х3=10+12+8=30.
Однако, может оказаться, что выгоднее график работы, составленный на основе оптимального выбора начала каждой из смен. Можно использовать, например, график работы, в котором начало одной смены смещено относительно начала следующей смены на 4 часа. Такой график с непрерывающимися сменами показан на рис. 5.2, причем продолжительность смены составляет 8 часов. Тогда следует ввести следующие переменные: х1 - число автобусов, выходящих на линию в 0:01 час, х2 - в 4:01 час, х3 - в 8:01 час, х4 - в 12:01 час, х5 - в 16:01 час, х6 - в 20:01 час.
Рис. 5.8 График работы автобусов
Математическая модель задачи
f0=x1+х2+х3+х4+х5+х6= min
при ограничениях:
х6+х1 4 (с 0:01 до 4:00)
х1+х2 8 (с 4:01 до 8:00)
х2+х3 10 (с 8:01 до 12:00)
х3+х4 7 (с 12:01 до 16:00)
х4+х5 12 (с 16:01 до 20:00)
х5+х6 4 (с 20:01 до 24:00)
хj 0 для j =1,2,..,6, хj – целые.
5.2.Двойственная задача линейного программирования
С каждой задачей линейного программирования можно связать по определенному правилу другую задачу линейного программирования, которая называется двойственной. При этом исходную задачу называют прямой. Рассмотрение двойственной пары задач линейного программирования дает полезную дополнительную информацию о свойствах оптимального плана. Опишем способы построения двойственных задач и основные результаты теории двойственности. В качестве прямой задачи рассмотрим задачу оптимального планирования производства.
Математическая модель прямой задачи:
|
(5.18) |
|
Напомним содержательный смысл параметров и переменных задачи: bi – общее количество ресурса Ri, aij – количество ресурса Ri, расходуемого на производство единицы продукта Pj, cj – прибыль от реализации единицы продукта Pj, xj – количество продукта Pj, планируемое к выпуску.
Формулировка прямой задачи: найти план выпуска продукции, обеспечивающий максимальную прибыль при заданных ограничениях на расход ресурсов.
Для формулировки двойственной задачи будем учитывать ценность ресурсов. Предположим, что в рамках некоторого объединения предприятие реализует ресурсы другому предприятию. Первое предприятие оценивает свои ресурсы с точки зрения возможной прибыли от производимой продукции и условием продажи считает оценку ресурсов не меньшую, чем прибыль от готовой продукции. Второе предприятие имеет цель минимизировать стоимость приобретаемых ресурсов.
В этой связи возникает двойственная задача: установить такие цены на ресурсы (внутри объединения), чтобы минимизировать их общую стоимость (интерес покупателя) при условии, чтобы стоимость расхода ресурсов на единицу продукта была не ниже соответствующей прибыли от реализации (интерес продавца).
Проведем формализацию этой задачи. Пусть уi≥ 0, - планируемая цена (оценка) ресурса Ri, i= 1,…,m. Тогда общая стоимость ресурсов выражается величиной .
Стоимость ресурсов, необходимых для производства единицы продукта Pj, равна .
С учетом заявленных требований приходим к следующей задаче линейного программирования относительно переменных у1…..уm:
|
(5.19) |
|
Это двойственная задача по отношению к прямой задаче (5.1). По существу, она является канонической задачей линейного программирования (как и прямая задача).
Двойственная задача - это вспомогательная задача линейного программирования, которая формулируется из исходной (прямой) задачи с помощью определенных правил.
|
П еременные прямой задачи |
|
|
|
|||||
Правые части ограничения двойственной задачи |
x1 ↓ |
x2 ↓ |
…… |
xj ↓ |
…… |
xn ↓ |
|
|
|
с1 |
с2 |
…… |
сj |
…… |
cn |
|
|
|
|
Коэф. левых частей ограничений двойственной задачи |
а11 |
а12 |
…… |
a1j |
…… |
a1m |
b1 |
← y1 |
Переменные двойственной задачи |
a21 |
a22 |
…… |
a2j |
…… |
a2m |
b2 |
←y2 |
||
: |
: |
…… |
: |
…… |
: |
: |
: |
||
am1 |
am2 |
…… |
amj |
…… |
amn |
bm |
←ym |
||
|
↑ j-ое ограничение двойственной задачи |
↑ коэффициенты двойственной целевой функции |
задачи
двойственной
целевой функции
задачи
Правила постановки двойственной задачи:
1
2) Каждой переменной прямой задачи соответствует ограничение двойственной задачи.
3) Коэффициенты аij при некоторой переменной - xj фигурирующие в ограничениях прямой задачи, становится коэффициентами левой части соответствующего ограничения двойственной задачи, а соответствующий коэффициент cj в целевой функции прямой при той же переменной xj становится постоянной правой части ограничений двойственной задачи.
Из правил следует, что двойственная задача имеет m переменных (у1,...,ym) и n ограничений, соответствующих n переменным прямой задачи.
Рассмотрим, как формируются направление оптимизации, ограничения и знаки двойственных переменных.
Таблица 77
Прямая задача в канонической форме. целевая функция fo |
Двойственная задача |
||
Целевая функция W |
Знаки ограничений |
Переменные |
|
максимизации |
минимум |
≥ |
Не ограничены в знаке |
минимизации |
максимум |
≤ |
Не ограничены в знаке |