2.3.Решение задач закрепления потребителей за поставщиками и клиентуры за автотранспортными предприятиями с учетом дополнительных требований

Одним из основных резервов снижения транспортных издержек в народном хозяйстве является достижение наименьшего расстояния перевозок грузов. Это достигается путем рационального закрепления потребителей за поставщиками, которое должно обеспечить минимальное среднее расстояние перевозок. К этому же типу задач относится и задача по закреплению клиентуры за автотранспортными предприятиями, которая формулируется следующим образом: имеются автотранспортные предприятия, начальные пункты погрузки и конечные пункты разгрузки. Заданы расстояния между автотранспортным предприятием и всеми указанными пунктами, известно количество подвижного состава, которое требуется подавать на каждый маршрут или клиентуре. Требуется найти план закрепления маршрутов и клиентуры автотранспортными предприятиями, при котором общий нулевой пробег всех автомобилей будет минимальным.

Эти задачи решаются методами, описанными выше. Однако в практике работы при этом могут возникать различные дополнительные требования, которые необходимо учитывать при планировании. Перечислим некоторые из них и покажем, какие изменения следует внести в матрицу для того, чтобы они были учтены.

2.3.1.Ограничения в поставках

Одним из таких условий может стать невозможность поставок к некоторым потребителям продукции определенных поставщиков (или закрепления той или иной клиентуры за некоторыми автотранспортными предприятиями) по дорожным условиям, из-за договорных отношений, ввиду специальных требований к продукции или к подвижному составу.

Такое ограничение можно учесть при решении, если в клетку, которая лежит на пересечении строки соответствующего потребителя (клиента) и столбца соответствующего поставщика (автотранспортного предприятия), вместо фактического расстояния между этими пунктами записать расстояние, значительно большее любого другого расстояния в матрице. Если при этом потребность данного потребителя (клиента) не превышает наличие груза (подвижного состава) у остальных поставщиков (автотранспортных предприятий), то указанная клетка в оптимальном плане останется незагруженной, и тем самым будет выдержано заданное ограничение.

Покажем это на примере. В таблице 31 представлена матрица по оптимальному закреплению потребителей силикатного кирпича за кирпичными заводами. При решении этой задачи поставлено дополнительное условие – ограничение: на железнодорожную станцию нельзя доставлять груз с завода № 4 и на фабрику «Заря» с завода №3. Вместо фактических расстояний в матрице в соответствующих клетках проставлены значительно большие расстояния, чем во всех остальных клетках. Поэтому при решении в эти клетки загрузка попасть не может, и заданные ограничения оказываются выдержанными в оптимальном решении. Решение производится обычным порядком.

Таким же искусственным приемом можно учесть необходимость доставки груза одному или нескольким потребителем от определенных поставщиков в условиях, когда для других потребителей таких ограничений нет. Для этого в соответствующих клетках матрицы проставляют значительно большие расстояния, чем в остальных клетках. Указанное ограничение может учитываться только в том случае, если они являются точно обоснованными и если объем наличия груза у данных поставщиков не меньше необходимого объема поставок, закрепляемых за ним потребителей.

Следует отметить, что введение любого ограничения, как правило, ведет обычно к ухудшению получаемого результата с точки зрения выбранного критерия оптимальности.

Таблица 31

Потребители	Ui Vj	Поставщики – кирпичные заводы								Кол-во потребленного кирпича, тыс. шт.
		№1		№2		№3		№4
		V1=-16		V2=-18		V3=-11		V4=0
Железнодорожная станция	U1=24		8		6		13		200	325
				100		225
Строительство Дома культуры	U2=20		11		2		18		20	325
				125				200
Завод «Металлист»	U3=23		7		7		17		23	300
		300						0
Фабрика «Заря»	U4=10		11		6		200		10	200
								200
Наличие кирпича, тыс. шт. шт.		300		225		225		400		1150

Остановимся подробнее на возможных усложнениях в постановке транспортных задач.

1. При некоторых реальных условиях перевозки груза из определенного пункта отправления A_i в пункт назначения B_j не могут быть осуществлены. Для определения оптимальных планов таких задач предполагают, что тариф перевозки единицы груза из пункта A_i в пункт В_j, является сколь угодно большой величиной М, и при этом условии известными методами находят решение новой транспортной задачи. При таком предположении исключается возможность при оптимальном плане транспортной задачи перевозить груз из пункта A_i в пункт B_j. Такой подход к нахождению решения транспортной задачи называют запрещением перевозок или блокированием соответствующей клетки таблицы данных задачи.

2. В отдельных транспортных задачах дополнительным условием является обеспечение перевозки по соответствующим маршрутам определенного количества груза. Пусть, например, из пункта отправления А_i в пункт B_j требуется обязательно перевести d_ij единиц груза. Тогда в клетку таблицы данных транспортной задачи, находящуюся на пересечении строки А_i и столбца B_j, записывают указанное число d_ij и в дальнейшем эту клетку считают свободной со сколь угодно большим тарифом перевозок М. Для полученной таким образом новой транспортной задачи находят оптимальный план, который и является оптимальным планом исходной задачи.

3. Иногда требуется найти решение задачи, при котором из пункта отправления А_i в пункт B_j должно быть завезено не менее заданного количества груза d_ij. Для определения оптимального плана такой задачи считают, что запасы пункта A_i и потребности пункта B_j меньше фактических на d_ij единиц. После этого находят оптимальный план новой транспортной задачи, на основании которого и определяют решение исходной задачи.

4. В некоторых транспортных задачах требуется найти оптимальный план перевозок при условии, что из пункта отправления A_i в пункт назначения B_j перевозится не более чем d_ij единиц груза, т.е. выполняется условие (2.13).

(2.13)

Сформулированную задачу можно решить так. В таблице исходных данных задачи для каждого j-ro ограничения (2.13) предусматривают дополнительный столбец, т.е. вводят дополнительный пункт назначения. В данном столбце записывают те же тарифы, что и в столбце B_j за исключением тарифа, находящегося в i-ой строке. В дополнительном столбце в этой строке тариф считают равным сколь угодно большому числу М. При этом потребности пункта B_j считают равными , a потребности вновь введенного пункта назначения полагают равными . Решение полученной транспортной задачи может быть найдено методом МОДИ, и тем самым будет определен оптимальный план или установлена неразрешимость исходной задачи. Заметим, что исходная транспортная задача разрешима лишь в том случае, когда для нее существует хотя бы один опорный план.

Приведенную выше задачу можно решить и таким способом. С учетом ограничений (2.13) по правилу минимального элемента строят опорный план. При этом если величина записываемого на данном шаге в соответствующую клетку числа определяется только ограничением (2.13), то в последующем из рассмотрения исключают только заполненную клетку. В других случаях из рассмотрения исключают либо строку, либо столбец.

Если в результате составления плана поставок все имеющиеся запасы пунктов отправления распределены и потребности в пунктах назначения удовлетворены, то получен опорный план транспортной задачи.

Если в какой-нибудь строке (а следовательно, и столбце) остался нераспределенный остаток, равный d, то вводят дополнительный пункт назначения и дополнительный пункт отправления с потребностями и запасами, равными d. В клетке, находящейся на пересечении столбца дополнительного пункта назначения и строки дополнительного пункта отправления, тариф считают равным нулю. Во всех остальных клетках строки и столбца тарифы полагают равными сколь угодно большому числу М. Полученную в результате этого транспортную задачу решают методом потенциалов. После конечного числа шагов либо устанавливают, что исходная задача не имеет опорного плана, либо находят ее оптимальный план. При этом (x_ij*) - оптимальный план исходной задачи, если выполняются условия (2.14).

(2.14)

Пример 2.0:

Найти решение транспортной задачи, исходные данные которой приведены в табл. 32, при дополнительных условиях: из A₁ в В₂ и из А₂ в В₅ перевозки не могут быть осуществлены, а из А₂ в В₁ будет завезено 60 ед.груза.

Решение: Так как А₁ в В₂ и из А₂ в В₅ перевозки не могут быть осуществлены, то в клетках А₁В₂ и А₂В₅ табл. 33 тарифы считаем равными некоторому сколь угодно большому числу М. Полагаем равным этому же числу и тариф для клетки А₂В₁. Одновременно в эту клетку помещаем число 60, поскольку, по условию, из А₂ в В₁ нужно завести 60 ед. груза. В дальнейшем клетку А₂В₁ считаем свободной сколь угодно большим тарифом М.

Таблица 32

Пункты отправления		Пункты назначения						Запасы
	В1		В2	В3	В4	В5
А1	1		2	3	1	4	180
А2	6		3	4	5	2	220
А3	8		2	1	9	3	100
Потребности	120		80	160	90	50	500

Таблица 33

Пункты отправления	Ui Vj	Пункты назначения										Запасы
		В1		В2		В3		В4		В5
		V1=2		V2=3		V3=4		V4=2		V5=М
А1	U1=-1		1		М		3		1		4	180
		60				30		90
				М-2						5-М
А2	U2=0		М		3		4		5		М1	220
		60		80		30				50
		М-2						3
А3	U3=-3		8		2		1		9		3	100
						100
		9		2				10		6-М
Потребности		120		80		160		90		50		500

Для транспортной задачи, исходные данные которой записаны в табл. 32, методом минимального элемента находим опорный план. Этот план проверяем на оптимальность. Для каждого из пунктов отправления и назначения находим потенциалы, а для каждой из свободных клеток - числа . Эти числа записываем в квадратах в соответствующих клетках табл. 33. Если среди данных чисел нет отрицательных, то найденный опорный план является оптимальным. В данном случае имеется два отрицательных числа, расположенных в клетках A₁B₅ и А₃В₅ поэтому переходим к новому опорному плану. Строим для клетки A₁B₅ цикл пересчета и производим сдвиг по циклу пересчета (табл. 34).

Таблица 34

Пункты отправления	Ui Vj	Пункты назначения
		В1		В2		В3		В4		В5
		V1=М-3		V2=3		V3=4		V4=М-3		V5=М
А1	U1=4-М		1		М		3		1		4
		60						90		30
				7-2М		-5+М
А2	U2=0		М		3		4		5		М1
		60		80		60				20
		3						8-М
А3	U3=-3		8		2		1		9		3
						100
		2-М		2				15-М		6-М

Полученный оптимальный план проверяем на оптимальность; так как он не оптимален, то переходим к новому опорному плану (табл. 35).

Таблица 35

Пункты отправления	Ui Vj	Пункты назначения
		В1		В2		В3		В4		В5
		V1=3		V2=3		V3=4		V4=3		V5=6
А1	U1=2		1		М		3		1		4
		60						90		30
				М-1		1
А2	U2=0		М		3		4		5		М1
		60		80		80
		3-М						2		М-6
А3	U3=-3		8		2		1		9		3
						80				20
		8		2				9

Как видно из табл.35, исходная транспортная задача имеет оптимальный план