Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Практическое занятие 1 Элементы теории вероятно...doc
Скачиваний:
10
Добавлен:
13.11.2019
Размер:
206.34 Кб
Скачать

Практическое занятие 1.

Тема:

Случайные события. Вероятности событий в опытах с конечным числом исходов.

Цель работы: Приобретение навыков расчета вероятностей.

1. Случайное событие, его частота и вероятность

Общие положения:

В теории вероятностей испытанием называется совокупность условий, в которых может осуществляться данное событие. Событие называется случайным, если в результате данного испытания оно может как произойти, так и не произойти. Случайное событие называется массовым, если число однородных испытаний (т. е. испытаний, проходящих в одинаковых условиях, в которых оно происходит или не происходит), достаточно велико и может неограниченно возрастать. Различные массовые случайные события обозначают буквами А, В, С,.... Отношение числа m наступлений данного случайного события А в данной серии испытаний к общему числу испытаний этой серии n называется частотой (вероятностью) появлений события А в данной серии испытаний, или просто частотой (вероятностью) события А, и обозначается через Р(А).

Таким образом, Р(А) = m/n.

Вероятность случайного события всегда заключена между нулем и единицей:

0 < Р(А) < 1.

Достоверному событию (т.е. событию, которое должно произойти при каждом испытании) приписывается вероятность Р(А) = 1.

Невозможному событию (т.е. событию, которое не может произойти ни при одном испытании) приписывается вероятность Р(А) = 0.

В некоторых простейших случаях вероятность случайного события может быть определена заранее (как говорят в математике, apriori).

Рассмотрите примеры.

Пример 1.   Из  карточек  разрезной азбуки  составлено слово  “математика”. Затем из  карточек наугад выбирается одна. Определить вероятности выпадения карточек с каждой буквой.

Решение.

Рассмотрим пространство элементарных событий Х = { а ; м ; т ; е ; к ; и }, где, например, элемент “и” означает, что выбрана карточка с буквой “и”. Обозначим через p(х) вероятность элементарного события х. Тогда целесообразно определить вероятности элементарных событий в этом опыте следующим образом: p(a) = 0.3, p(м) = p(т) = 0.2, р(е) = р(к) = р(и) = 0.1. Действительно, возможность выбрать карточку с буквой “а” в три раза превышает возможность выбрать карточку с буквой “е”. Очевидно,

р(а) + р(м) + р(т) + р(е) + р(к) + р(и) = 1.

Тогда, если за событие А принять выбор карточки с гласной буквой, то вероятность этого события определится выражением

Р(А) = р(а) + р(е) + р(и) = 0.3 + 0.1 + 0.1 = 0.5.

Пример 2. Игральной костью называют выполненный из однородного материала кубик, грани которого помечены номерами 1; 2; 3; 4; 5; 6 так, что сумма чисел на противоположных гранях равна семи.

Игральная кость подбрасывается один раз. Определить вероятности выпадения четного номера и простого числа.

Решение.

Пространство элементарных событий Х = {1; 2; 3; 4; 5; 6} , где, например, элементарное событие 1 означает, что кость упала гранью с номером 1 вверху. Описание опыта позволяет считать все элементарные события равновозможными из-за симметричности игральной кости. Поэтому целесообразно полагать равными вероятности всех элементарных событий, то есть р(1) = р(2) = ... = р(6) = 1/6.

Пусть событие А - на верхней грани игральной кости выпал четный номер {2; 4; 6}, тогда Р(А) = 3/6 = 1/2. Пусть событие В - на верхней грани игральной кости выпало простое число, к которым относятся числа 1; 2; 3; 5. Тогда Р(В) = 4/6 = 2/3.

Пример 3. Сколькими способами можно поставить на полке пять томов “Математической энциклопедии”?

Решение.

Каждой расстановке пяти книг на полке соответствует перестановка пяти чисел 1, 2, 3, 4, 5, поэтому существует способов расстановки 5 томов “Математической энциклопедии”.

Пример 4. Сколькими способами можно выбрать из 30 учеников класса 6 дежурных?

Решение.

При выборе группы дежурных играет роль только состав группы и не играет роли порядок выбора, поэтому 6 дежурных можно выбрать способами.

Пример 5. В ящике находится 3 белых и 4 черных шара одинаковой формы и веса. Из ящика наугад вынимают три шара сразу. Найти вероятность того, что два шара из этих трех будут черными, а один - белый.

Решение.

В качестве пространства элементарных событий в описанном эксперименте можно рассматривать множество всевозможных троек шаров из семи шаров ящика. Тогда количество элементов пространства Х равно числу сочетаний из 7 элементов по 3

.

Пусть событие А - из трех выбранных шаров два являются черными, а один - белым. Число способов выбора двух черных шаров из четырех черных шаров, имеющихся в ящике, равно . Число способов выбора одного белого шара из трех белых шаров, имеющихся в ящике, очевидно, равно 3. Поэтому по принципу умножения количество элементов события А равно |A| = 6.3 = 18. Следовательно, по классическому определению вероятности

.