Рассмотрите примеры.
Пример 6. В урне лежит 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули 1 шар. Какова вероятность того, что вынутый шар белый? черный? синий? красный? белый или черный? синий или красный? белый, черный или синий?
Решение.
N =10 + 15 + 20 + 25 = 70; Р(Б) = 10/70= 1/7; Р(Ч) =15/ 70= 3/14; Р(С) = 20/ 70 = 2/7. P(K) = 25/70 = 5/14
Применяем аксиому сложения вероятностей:
Р(Б+Ч) = Р(Б) + Р(Ч) = 5/14; Р(С+К) = Р(С) + Р (К) = 9/14; Р(Б + Ч + С) =1 - Р(К) = 9/14.
Пример 8. В первом ящике лежит 2 белых и 10 черных шаров, во втором ящике - 8 белых и 4 черных шаров. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что оба шара белые?
Решение. В данном случае речь идет о совмещении событий А и В, где событие А — появление белого шара из первого ящика, событие В — появление белого шара из второго ящика. При этом А и В — независимые события.
Имеем: Р(А) = 1/6, Р(В) = 2/3. Применив аксиому умножения вероятностей получим:
Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В) = 1/9.
Пример 9. В условиях предыдущей задачи определить вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой черный.
Решение.
Событие А - появление белого шара из первого ящика; » В - появление белого шара из второго ящика;
» С - появление черного шара из первого ящика (С = );
» D
- появление
черного шара из второго
ящика (D
=
).
Найдем вероятности событий
Р(А) = 1/6, Р(В) = 2/3, Р(С) = Р( ) = 1 - 1/6 = 5/6, P(D) = Р( ) = 1 - 2/3 = 1/3.
Определим вероятность того, что шар, вынутый из первого ящика, белый, а из второго ящика — черный:
P(AD) = Р(А) • P(D) = 1/6 ∙ 1/3 = 1/18.
Определим вероятность того, что шар, вынутый из первого ящика, — черный, а из второго ящика - белый:
Р(ВС) = Р(В) • Р(С) = 2/3 ∙ 5/6 = 5/9.
Определим теперь вероятность того, что шар, вынутый из одного ящика (безразлично из первого или второго), будет белым, а шар, вынутый из другого ящика, будет черным. Применяем аксиому сложения вероятностей:
Р = P(AD) + Р(ВС) = 1/18 + 5/9 = 11/18.
Пример 10. В ящике 6 белых и 8 черных шаров. Из ящика вынули 2 шара (не возвращая вынутый шар в ящик). Найти вероятность того, что оба шара белые.
Решение. Событие А — появление белого шара при первом вынимании. Событие В
— появление белого шара при втором вынимании. По аксиоме умножения вероятностей, для случая зависимых событий имеем Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В/А). Но Р(А) = 6/14 = 3/7 (вероятность появления первого белого шара); Р(В/А) = (6 – 1)/(14 -1) = 5/13 (вероятность появления второго белого шара в предположении, что первый белый шар уже вынут).
Следовательно, Р (АВ) = 3/7 • 5/13= 15/91.
Решите задачи.
Задача 9. В лотерее разыгрывается 1000 билетов, из них 500 — выигрышные и 500 — невыигрышные. Куплено два билета. Какова вероятность того, что оба билета выигрышные?
Задача 10. В группе из 30 учеников по итогам контрольной работе получили: 6 учеников оценки отлично, 10 учеников оценку хорошо, 9 учеников оценку удовлетворительно. Какова вероятность того, что все 3 наугад выбранных ученика, имеют неудовлетворительные оценки по контрольной работе?
Задача 11. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,75; вторым стрелком — 0,8; третьим стрелком — 0,9. Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.
Задача 12. В условиях предыдущей задачи определить вероятность того, что в цель попадает хотя бы один стрелок.
Задача 13. Определить вероятность того, что в семье, имеющей пять детей, будет три девочки и два мальчика. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.
Задача 14. В ящике находится а белых и b черных шаров. Какова вероятность того, что из двух вынутых шаров один белый, а другой черный? (Вынутый шар в урну не возвращается.)
Задача 15. На складе находятся 26 деталей, из которых 13 стандартные. Рабочий берет наугад две детали. Определить вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.
Задача 16. В первом ящике находится 6 шаров: 1 белый, 2 красных и 3 синих. Во втором ящике - 12 шаров: 2 белых, 6 краевых, 4 синих. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что среди вынутых шаров нет синих?