Решите задачи.

Задача 1. В ящике находится 10 пронумерованных шаров с номерами № 1, № 2,..., № 10.

Вынули 1 шар. Какова вероятность, что номер вынутого шара не превышает 10?

Задача 2. В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар?

Задача 3.    В партии из 23 деталей находятся 10 бракованных. Вынимают из партии наудачу две детали. Используя классическое определение теории вероятности определить, какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными.

Задача 4. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара — белые?

Задача 5. В лотерее участвует 2000 билетов. На один билет падает выигрыш 100 руб., на четыре билета — выигрыш по 50 руб., на десять билетов — выигрыш по 20 руб., на двадцать билетов — выигрыш по 10 руб., на 165 билетов—выигрыш по 5 руб., на 400 билетов — выигрыш по 1 руб. Остальные билеты невыигрышные. Какова вероятность выиграть по билету не меньше 10 руб.?

Задача 6. В вопросах к зачету имеются 75% вопросов, на которые студенты знают ответы.    Преподаватель выбирает из них два вопроса и задает их студенту. Определить вероятность того, что среди полученных студентом вопросов есть хотя бы один, на который он знает ответ.

Задача 7. Монета подброшена два раза. Какова вероятность того, что оба раза выпадет герб?

Задача 8. В первом ящике находятся шары с номерами: № 1, № 2, № 3, № 4, № 5. Во втором ящике - шары с номерами: № 6, № 7, № 8, № 9, № 10. Из каждого ящика вынули по 1 шару.

а) Какова вероятность того, что сумма номеров вынутых шаров не меньше 7?

б) Какова вероятность того, что сумма номеров равна 11?

в) Какова вероятность того, что сумма номеров не больше 11?

2. Аксиомы сложения и умножения вероятностей

Общие положения:

Событие, состоящее в не наступлении случайного события А, называется событием, противоположным событию А, и обозначается через . Объединение событий А и дает событие достоверное, а поскольку события А и несовместны, то

Р(А) + Р( ) = 1 или Р(А) =1 – P( ).

Если в результате данного испытания может наступить лишь одно из несовместных событий A₁ , А₂ , ... , А_n то они образуют так называемую полную группу событий. Так как объединение событий полной группы является событием достоверным, то для таких событий имеет место равенство

Р(А₁) + Р(А₂)+... + Р(А_n) = 1.

Совмещением (или произведением) двух случайных событий A₁ и А₂ называется сложное событие, заключающееся в одновременном или последовательном осуществлении обоих событий.

Под условной вероятностью события А₂ по отношению к событию A₁ (обозначение

Р (A₂/A₁) понимается вероятность осуществления события А₂, определенная в предпо­ложении, что событие A₁ имело место,

Вероятность совмещения двух событий A₁ и А₂ равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго по отношению к первому (аксиома умножения вероятностей):

Р (А₁А₂) = Р (А₁) • Р (A₂/A₁) = Р (А₂) • Р (A₁/A₂).

Два случайных события A₁ и А₂ называются независимыми, если условная вероятность одного из них по отношению к другому равна безусловной вероятности этого же события:

Р(А₂/А₁) = Р(А₂).

В этом случае имеют место равенства:

P(A₂/A₁) = P(A₂/ ₁) = P(A₂);

P(A₁/A₂) = P(A₁/ ₂) = P(A₁).

Для независимых событий вероятность их совмещения равна произведению их вероятностей:

Р (А₁А₂) = Р (А₁) • Р (А₂).

Условная вероятность события А_k, определенная в предположении, что осуществились события А₁ А₂,..., А_k-1, обозначается символом P(A_k/A₁ A₂ ... А_k-1).