Объёмы производства песка

Поставщик (песок)	Объём производства, т
Д	140
К	110

Таблица 67

Объём потребления песка

Потребитель (песок)	Объём потребителя, т
Е	250

4.2.Оптимальное планирование грузоперевозок

Цель работы заключается в построении такого плана перевозок щебня, который обеспечивал бы минимальное значение транспортной работы (грузооборота):

,

где i,j - текущий индекс соответственно поставщика и потребителя;

Р - грузооборот, т км;

- объем перевозок между i-ым поставщиком j-ым потребителем, т;

- расстояние между i-ым поставщиком и j-ым потребителем, км.

В этом случае следует задавать не матрицу удельных стоимостей с перевозки единицы груза, а матрицу расстояний между поставщиками и потребителями.

Исходные данные для транспортной сети представлены на рис. 4.1.

Рис. 4.6. Транспортная сеть

Объемы перевозимых грузов приведены в табл. 64, в табл. 65 заданы объемы потребления грузов. Расстояния между соответствующими поставщиком и потребителем, проставляют в правом верхнем углу каждой клетки табл. 68.

Проверим сбалансированность задачи.

Суммарный объём предлагаемого щебня: 140+210+80+210=640 т.

Суммарный объём потребляемого щебня: 170+180+150+130+10=640 т.

Так как объемы предлагаемого и потребляемого щебня одинаковы ( ), то задача является сбалансированной.

Таблица 68

Поставщики	Ui Vj	Потребители										ai
		В		И		Л		Ж		З
		V1=4		V2=2		V3=13		V4=13		V5=6
А	U1=-2	VV	2	V	9	V	10	V	11	V	4	140
		140
				9		-1		0		0
Б	U2=0	V	4		11	Ө	13		13		6	210
		30				150		20		10
				9
Г	U3=3	V	7		14		16		16		9	80
								80
		0		9		0				0
Н	U4=7		16	VV	9		18	Ө	20		14	210
				180				30
		5				-2				1
bj		170		180		150		130		10		640

Найдём начальный план методом двойного предпочтения. Пометим галочкой в каждой строке и в каждом столбце клетку таблицы c минимальным расстоянием. В начале делаем закрепления в клетки с двумя галочками.

, , вычёркиваем 1-ю строку (А)

, =0 вычёркиваем столбец (И)

Далее делаем назначение в невычеркнутые клетки, помеченные «V».

, =0, вычёркиваем столбец В.

В оставшиеся клетки делаем назначение по методу минимальной стоимости (расстояния).

, клетка БЗ.

, =0, вычёркиваем столбец З.

клетка БЛ.

, =0, вычёркиваем столбец Л.

клетка БЖ.

, =0 , вычёркиваем строку Б.

клетка ГЖ.

, =0 , вычёркиваем строку Г.

Подсчитаем для полученного мерного плана значение грузооборота.

=1402+304+15013+2013+106+8016+1809+3020=6170 т∙км.

Проверим план на оптимальность, для этого рассчитаем потенциалы для загруженных клеток по формуле (4.1).

(4.15)

За свободный можно принять любой потенциал, например, примем , тогда для загруженных клеток:

для БВ:  ;

для БЛ:  ;

для БЖ:  ;

для БЗ:  .

Зная можно найти :  ;

Зная можно найти :  ;

Зная можно найти :  ;

Зная можно найти :  .

Рассчитаем значение для свободных клеток по формуле (4.2).

(4.16)

Параметр будем записывать в левом нижнем углу клетки.

Среди есть отрицательные, значит, план не является оптимальным.

Составим специальный контур (цепочку) перемещений, начнём её с клетки НЛ , для неё имеет наибольшее по модулю отрицательное значение.

Данную переменную следует ввести в базис, т.е. увеличить (нагрузить). Контур строим по двум базисным (загруженным) переменным в строке и в столбце. Получим контур . Обход контура возможен как по часовой, так и против часовой стрелки. Найдём величину , т.е. величина совпадает с наименьшим значением переменной, помеченной знаком «−». , , значит переменную сле­дует удалить из базиса т.к. при вычитании , она обратиться в ноль, клетка стоит не нагруженной.

Теперь прибавляем к переменным, помеченным знаком «+», вычитаем из переменных, помеченных знаком «−». В результате получаем новый план (табл. 69).

Таблица 69

Поставщики	Ui Vj	Потребители
		В		И		Л		Ж		З
		V1=4		V2=4		V3=13		V4=13		V5=6
А	U1=-2	Ө	2		9		10		11		4
		140
				7		-1		0		0
Б	U2=0		4		11	Ө	13		13		6
		30				120		50		10
				7
Г	U3=3		7		14		16		16		9
								80
		0		7		0				0
Н	U4=5		16		9		18		20		14
				180		30
		7						2		3

Полагаем , находим все потенциалы по формуле (4.1) для загруженных клеток:

для БВ:  ;

для БЛ:  ;

для БЖ:  ;

для БЗ:  .

Зная можно найти :  ;

Зная можно найти :  ;

Зная можно найти :  ;

Зная можно найти :  .

Рассчитаем значение для свободных клеток по формуле (4.2).

Есть отрицательные оценки , значит план не оптимальный, в базис вводится переменная , соответствующая отрицательной оценке -1. Помечаем клетку знаком «+». Строим контур: , Вычитаем из клеток, помеченных «−», прибавляем к клеткам, помеченным «+». В результате станет равной нулю, её исключаем из базиса.

Таблица 70

Поставщики	Ui Vj	Потребители
		В		И		Л		Ж		З
		V1=4		V2=3		V3=12		V4=13		V5=6
А	U1=-2		2		9		10		11		4
		20				120
				8				0		0
Б	U2=0		4		11		13		13		6
		150						50		10
				8		1
Г	U3=3		7		14		16		16		9
								80
		0		8		1				0
Н	U4=6		16		9		18		20		14
				180		30
		6						1		3

Полагаем U₂ = 0 находим потенциалы по загруженным клеткам по формуле (4.1).

для БВ:  ;

для БЖ:  ;

для БЗ:  .

Зная можно найти :  ;

Зная можно найти :  ;

Зная можно найти :  .

Зная можно найти :  ;

Рассчитаем значение для свободных клеток по формуле (4.2).

Все оценки , значит план оптимальный. Минимальный грузооборот = 220 + 10120 + 4150 + 1350 + 610 + 1680 + 9180 + 1830= 5990(ткм). Выигрыш от оптимального плана перевозок составляет 6170 − 5990 = 180 (ткм)