2.2.Дельта-метод решения транспортной задачи

При составлении плана перевозок с помощью транспортной задачи линейного программирования большое значение имеет время, затраченное на ее решение. Применение метода двойного предпочтения и метода МОДИ для решения транспортной задачи с 10 - 15 поставщиками и 15 - 20 потребителями требует 4 - 5 часов непрерывных вычислений. Это происходит потому, что существующие методы составления первоначального опорного плана позволяют получить план, далекий от оптимального. Как показала практика, использование дельта-метода совместно с методом МОДИ дает возможность найти оптимальный план в 3 - 4 раза быстрее, причем, чем больше размер таблицы, тем ощутимее разница во времени. Это объясняется тем, что в результате применения дельта-метода всегда находится оптимальный план. Если построенный план оказался неоптимальным, то это произошло только в результате допущенных в процессе построения плана ошибок.

Алгоритм метода: Преобразуем таблицу в таблицу приращений , выбирая в каждом столбце наименьшую стоимость и вычитая ее из всех стоимостей столбца. Значения записываем под соответствующими значениями . Таблицу преобразуем в таблицу , выбирая в каждой строке наименьшее приращение и вычитая его из всех приращений строки; результаты записываем под значениями . Если в какой-нибудь строке уже имеется уже нулевое приращение после первого преобразования, то в этой строке приращения оставляем без изменения и преобразуем приращения строк, не содержащих нулевых приращений. Просматриваем столбцы, содержащие одно нулевое приращение, и в клетки, содержащие его, записываем потребности bj, не обращая внимания на величину запасов поставщиков. Затем просматриваем столбцы, содержащие два нулевых приращения, и клетки, содержащие их, заполняем, учитывая ранее произведенное закрепление и запасы поставщиков. Затем переходим к столбцам, содержащим 3, 4, и так далее нулевых приращений. Процесс закрепления потребителей за поставщиками продолжается до тех пор, пока все объемы потребителей не будут закреплены за поставщиками. Подсчитываем для строк i=1,2,..,m. (2.8) Если все , то построение плана закончено. Он же является оптимальным, т.к. все грузы перевозятся с наименьшими приращениями стоимостей. В общем случае получаем: а) для одних строк , они называются нулевыми. б) для других строк , они называются избыточными и отмечаются знаком ˝˝. в) для третьих , такие строки называются недостаточными и отмечаются знаком ˝+˝. Отмечаем знаком ˝V˝ столбцы, имеющие занятые клетки в избыточных строках. Для каждой недостаточной и нулевой строки сравниваем , стоящие в отмеченных столбцах, выбираем наименьшее и проставляем в последнюю графу таблицы. В последней графе просматриваем недостаточных строк, выбираем наименьшее и сравниваем его с Сi0j для нулевых строк. При этом может быть два случая: а) для каждой нулевой строки (2.9) б) для некоторых нулевых строк (2.10) Если выполняется условие (2.9), то производится непосредственное распределение потребности из избыточной строки в недостаточную клетку отмеченного столбца, которой соответствует . Величина перераспределения находится по формуле (2.11). , (2.11) где - величина перевозки, стоящая в отмеченном столбце избыточной строки; r - величина разностей, стоящих в избыточной и недостаточной строках. Если для некоторой нулевой строки выполняется условие (2.10), то перераспределение проверяем по цепочкам, идущим через эту нулевую строку из избыточной строки в недостаточную. Для построения цепочки в этой нулевой строке в отмеченном столбце находим клетку, для которой , и отмечаем ее знаком ˝+˝, в том же столбце находим занятую клетку, стоящую в избыточной строке, и отмечаем ее знаком ˝˝ – это начало цепочки. Начиная движение по построенному звену цепочки от ˝˝ к ˝+˝ попадаем в нулевую строку, затем передвигаемся по нулевой строке к занятой клетке и отмечаем ее знаком ˝˝, далее по столбцу переходим в клетку недостаточной строки и отмечаем ее знаком ˝+˝. Цепочка построена, если матрица содержит большое число нулевых строк, то цепочки перераспределения могут проходить через несколько нулевых строк и их количество значительно возрастает, поэтому руководствуемся следующим правилом: При переходе из одной нулевой стоки в другую определяем полученную сумму приращений и сравниваем ее с минимумом приращений в выделенных столбцах данной строки. Если полученная сумма превышает этот минимум, то продолжение цепочки по данной строке не рассматриваем. Очевидно также, что если сумма приращений, полученная при переходе в недостаточную строку, меньше, чем при переходе в нулевую строку. Составляем для каждой цепочки алгебраическую сумму приращений , считая их отрицательными, если они стоят в клетке, отмеченной знаком ˝˝, и положительными, если клетка отмечена знаком ˝+˝. Полученную сумму сравниваем с : а) если для всех построенных цепочек, то отбрасываем их и производим непосредственное перераспределение; б) если , то перераспределение по цепочке рассчитывается по формуле (2.12). , (2.12) где - числа, указывающие на перевозки, которые стоят в клетках, отмеченных знаком ˝˝, 1 к m, 1 p n; - разности, стоящие в избыточной и недостаточной сроках, в которых начинается и заканчивается цепочка, 1 r m. Следуя по цепочке, вычитаем величину перераспределения из чисел, помещенных в клетках, отмеченных знаком ˝˝, и прибавляем к числам, которые стоят в клетках, помеченных знаком ˝+˝, на эту же величину изменяем . В результате получаем новое закрепление потребителей за поставщиками. После перераспределения проверяем возможность исключения отмеченных столбцов. Столбцы исключаем из отмеченных в том случае, если занятая клетка избыточной строки превратилась в незанятую или избыточная строка превращается в нулевую. В этом случае следующую итерацию следует начать с пункта 6 алгоритма, если количество отмеченных столбцов осталось без изменения, то следующая итерация начинается с п.7 алгоритма. Процесс перезакрепления продолжается до тех пор, пока все строки не превратятся в нулевые. Полученный план перевозок проверяют на оптимальность методом потенциалов.

Алгоритм дельта - метода рассмотрим на примере транспортной задачи, записанной в таблице 25.

Таблица 25

Поставщики	Ui Vj	Потребители													ai	ai	отмеченных столбцов
		В1		В2		В3		В4			В5		В6
				V		V
А1			10 0		19 8		17 10			18 1		16 1		21 5	450	+ 250	8
		200
А2			13 3		14 3		11 4			17 0		18 3		19 3	400	+ 300	3
								100
А3		Ө	15 5		11 0		7 0			19 2		19 4		22 6	150	 550
				300		400
А4			14 4 3		13 2 1		12 5 4			18 1 0		21 6 5		23 7 6	150	0	1
								150
А5			21 11		23 12		10 3		20 3			15 0		16 0	250	0	3
											150		100
bj		200		300		400		250			150		100		1400

В таблице 25 при переходе к матрице (п. 2 алгоритма) преобразованию подлежит строка А₄, где . Появившиеся в таблице нули указывают на наименьшие приращения стоимостей по отношению к наименьшим стоимостям, выбранным в столбцах.

Согласно п. 3 алгоритма, в таблице 25 в столбцах В₁, В₂, В₃, В₅ и В₆ по одной клетке с нулевыми приращениями, записываем в эти клетки потребности соответствующих потребителей. В столбце В₄ два нулевых приращения, стоящие в клетках А₂В₄ и А₄В₄. За поставщиком А₄ следует закрепить 150 ед. потребностей, а за поставщиком А₂ – 400 ед. Имеется же всего 250 ед., поэтому планируем полное удовлетворение поставщика А₄ и 100 ед. закрепляем за поставщиком А₂. В результате получено первоначальное закрепление потребителей за поставщиками по нулевым приращениям стоимостей.

В рассматриваемом примере находим (п. 4 алгоритма) a₁ = 450  200, a₂ = 400  100 = 300, a₃  = 150  700 = 550, a₄ = 150  150 = 0, a₅  = 250  250 = 0, т.е. А₄ и А₅ нулевые строки.

Вообще, для закрытой (сбалансированной) модели сумма a_i избыточных строк всегда должна быть равна сумме a_i недостаточных строк.

Так как a₁, a₂, а₃ не равны нулю, то первоначальное закрепление не является планом. Чтобы получить план, необходимы избыточные 550 ед. потребностей, закрепленных за поставщиком А₃, закрепить за поставщиками А₁ и А₂ соответственно в количестве 250 и 300 ед.

В первоначальном закреплении потребности распределены по нулевым приращениям, поэтому дальнейшее их перезакрепление связано с увеличением суммарной стоимости планируемых перевозок. Необходимо 550 ед. потребностей перезакрепить за поставщиками А₁ и А₂ таким образом, чтобы получить при этом минимальное приращение стоимости на единицу перезакрепленных потребностей. Для этого выполняем следующие операции. В табл. 25 отмечаем ˝V˝ столбцы В₂ и В₃ (п. 5 алгоритма).

Находим отмеченных столбцов (п. 6 алгоритма):

для недостаточной строки А1	min(8;10)=8;
для недостаточной строки А2	min(3;4)= 3;
для нулевой строки А4	min(1;4)= 1;
для нулевой строки А5	min(12;3)= 3.

Эти значения показывают какое приращение стоимости на данном шаге будет получено, если единицу потребности непосредственно перезакрепить от поставщика А₃ соответственно к поставщикам А₁, А₂, А₄, А₅.

Записываем полученные значения в табл. 25 в последней графе. Находим для недостаточных строк . Сравниваем это значение с С_ij нулевых строк. Для нулевой строки А₄ выполняется условие (2.10) п. 7 алгоритма, поэтому перераспределение проводим по цепочке. Для построения цепочки находим в строке А₄ приращение  С₄₂=1, стоящее в отмеченном столбце, и эту клетку отмечаем знаком ˝+˝, в столбце В₂ находим занятую клетку А₃В₂, которая находится в избыточной строке, и отмечаем ее знаком ˝˝. Начинаем движение по звену цепочки А₃В₂-В₂А₄ и приходим в нулевую строку А₄, находим в ней занятую клетку А₄В₄ и отмечаем ее знаком ˝˝, затем по столбцу В₄ переходим в клетку недостаточной строки. В данном случае цепочку можно окончить в двух клетках (А₄В₄ и А₂В₄), которые и отмечаем знаками ˝+˝. Получены две цепочки: А₃В₂ – В₂А₄ – А₄В₄ – В₄А₁ и А₃В₂ – В₂А₄ –А₄В₄ – В₄А₂. Подсчитаем по цепочкам сумму приращений: (для первой цепочки). (для второй цепочки).

Для обеих цепочек сумма меньше трех, следовательно обе они годятся. Для перераспределения выбираем вторую цепочку, так как для нее сумма приращения меньше (1<2). Определяем величину перераспределения: min(300;150;550;300)=150.

Двигаясь по цепочке, перераспределяем 150 ед., затем а₂ и а₃ изменяем на то же число. В результате получим новое закрепление, приведенное в табл. 26. После первой итерации количество отмеченных столбцов и недостаточных строк осталось без изменения, поэтому как и прежде, min  С_ij=3 и для строки А₄ имеем 1<3.Проверяем перераспределение по цепочке, которая начинается в клетке А₂В₂ и проходит через клетку А₄В₂ нулевой строки А₄. Но из клетки А₄В₂ движение по нулевой строке А₄ продолжить невозможно, так как в ней нет других занятых клеток. Для нулевой строки А₅ имеем min C_ij=C_i0j=3, поэтому производим непосредственное перезакрепление из строки А₃ в клетку А₂В₂, в которой теперь находится min .

Определяем теперь величину перераспределения min (150;400;150)=150 и производим его, внося изменения в табл. 26.

Таблица 26

Поставщики	Ui Vj	Потребители													ai	ai	отмеченных столбцов
		В1		В2		В3		В4			В5		В6
				V		V
А1			10 0		19 8		17 10			18 1		16 1		21 5	450	+ 250	8
		200
А2			13 3		14 3		11 4			17 0		18 3		19 3	400	+ 150	3
								250
А3			15 5		11 0		7 0			19 2		19 4		22 6	150	 400
				150		400
А4			14 4 3		13 2 1		12 5 4			18 1 0		21 6 5		23 7 6	150	0	1
				150
А5			21 11		23 12		10 3		20 3			15 0		16 0	250	0	3
											150		100
bj		200		300		400		250			150		100		1400

В результате получаем новое закрепление, приведенное в табл. 27.

В результате перераспределения клетка А₃В₂ стала свободной, столбец В₂ выбыл из отмеченных, строка стала нулевой. Подсчитываем min в отмеченных столбцах для избыточных и нулевых строк и помещаем эти значения в последнюю графу табл. 27. Находим для недостаточных строк min =10. Любое из значений , стоящих в нулевых строках, меньше десяти, поэтому возможность перераспределения по цепочкам надо проверить для всех нулевых строк. Проверку начинаем с нулевой строки А₅, так как ей соответствует min =3. Клетку А₅В₃, отмечаем знаком ˝+˝ и строим цепочку из клетки А₃В₃, отмечая ее знаком ˝˝. В строке А₅ две занятые клетки, поэтому строим через каждую из них цепочки и составляем сумму приращений:

Для цепочки А₃В₃В₃А₅А₅В₅В₅А₁ сумма приращений -0+3-0+1=4

Для цепочки А₃В₃-В₃А₅А₅В₆В₆А₁ сумма приращений -0+3-0+5=8

Таблица 27

Поставщики	Ui Vj	Потребители													ai	ai	отмеченных столбцов
		В1		В2		В3		В4			В5		В6
						V
А1			10 0		19 8		17 10			18 1		16 1		21 5	450	+ 250	10
		200
А2			13 3		14 3		11 4			17 0		18 3		19 3	400	0	4
				150				250
А3			15 5	Ө	11 0		7 0			19 2		19 4		22 6	150	 250
						400
А4			14 4 3		13 2 1		12 5 4			18 1 0		21 6 5		23 7 6	150	0	4
				150
А5			21 11		23 12		10 3	Ө	20 3			15 0		16 0	250	0	3
											150		100
bj		200		300		400		250			150		100		1400

Так как для первой цепочки сумма приращений равна четырем и в остальных нулевых строках С_i0j =4, то проверять возможность перераспределения через них нецелесообразно. Перераспределение min (400,150,250) = 150 производим по первой цепочке и в результате получаем табл. 28.

Таблица 28

Поставщики	Ui Vj	Потребители													ai	ai	отмеченных столбцов
		В1		В2		В3		В4			В5		В6
						V
А1			10 0		19 8		17 10			18 1		16 1		21 5	450	+ 100	10
		200									150
А2			13 3		14 3	Ө	11 4			17 0		18 3		19 3	400	0	4
				150				250
А3			15 5	Ө	11 0		7 0			19 2		19 4		22 6	150	 100
						250
А4			14 4 3		13 2 1		12 5 4			18 1 0		21 6 5		23 7 6	150	0	4
				150
А5			21 11		23 12		10 3		20 3			15 0		16 0	250	0	3
						150							100
bj		200		300		400		250			150		100		1400

В табл. 28 построение цепочек начинаем с клетки А₅В₅ нулевой строки А₅. Для цепочек:

А₃В₃В₃А₅А₅В₆В₆А₁ сумма приращений -0+3-0+5=8;

А₃В₃В₃А₅А₅В₆В₆А₂А₂В₄В₄А₁ сумма приращений =-0+3-0+3-0+1=8.

Так как сумма приращений значительно больше четырех, поэтому проверяем возможность перераспределения через остальные нулевые строки.

Для строки А₂

А₃В₃В₃А₂А₂В₄В₄А₁, -0+4-0+1=5;

А₃В₃В₃А₂А₂В₂В₂А₁, -0+4-3+8 = 9.

Для строки А₄

А₃В₃В₃А₄А₄В₂В₂А₁, -0+4-1+8=11;

А₃В₃В₃А₄А₄В₂В₂А₂А₂В₄В₄А₁, -0+4-1+3-0+1 = 7.

Перераспределение min(250;250;100;100)=100 производим по третьей цепочке. В результате получаем табл. 29, в которой все строки преобразованы в нулевые. Следовательно, в результате последней итерации получен оптимальный план. Построенная система потенциалов показывает, что этот план является оптимальным.

При решении задач дельта-методом количество итераций зависит в основном от числа строк, поэтому при m<n потребителей закрепляют за поставщиками, при m>n –поставщиков за потребителями. дельта-метод позволяет решать открытую модель транспортной задачи, не приводя ее к закрытой модели, однако, это возможно только в том случае, если вычисления абсолютно правильны и все перераспределения произведены по лучшим цепочкам. Так как такой уверенности быть не может (цепочки могут проходить через несколько нулевых строк), то план проверяют и доводят до оптимального с помощью метода потенциалов, поэтому при решении задач дельта-методом без применения ЭВМ открытую модель преобразуют в закрытую.

Таблица 29

Поставщики	Ui Vj	Потребители													ai	ai	отмеченных столбцов
		В1		В2		В3		В4			В5		В6
						V
А1			10 0		19 8		17 10			18 1		16 1		21 5	450	+ 100	10
		200				150
А2			13 3		14 3	Ө	11 4			17 0		18 3		19 3	400	0	4
				150				250
А3			15 5	Ө	11 0		7 0			19 2		19 4		22 6	150	 100
						250
А4			14 4 3		13 2 1		12 5 4			18 1 0		21 6 5		23 7 6	150	0	4
				150
А5			21 11		23 12		10 3		20 3			15 0		16 0	250	0	3
						150							100
bj		200		300		400		250			150		100		1400

Для того, чтобы нулевые стоимости фиктивных перевозок не привели к увеличению вычислений при преобразовании таблицы С_ij в таблицу С_ij, минимальные стоимости в столбцах отыскивают среди стоимостей реальных поставщиков и потребителей. При этом отрицательные приращения, имеющие место для фиктивного поставщика, преобразуют в положительные при переходе к таблице . Для фиктивного потребителя отрицательные приращения получаем при переходе к таблице , а затем преобразуем их в положительные, вычитая из этих приращений наименьшее отрицательное приращение по столбцу фиктивного потребителя. Решение транспортной задачи с фиктивным потребителем рассмотрено в таблице 30.

Таблица 30

Поставщики	Ui Vj	Потребители																	ai
		В1		В2		В3		В4			В5		В6		В6		Вn+1
		19		24		20		19			20		20		18		‑1
А1	0		19 6 2		24 9 5		26 9 5			28 10 6		30 16 12		22 4 0		185 1		0 -4 0	450
		250													200
А2	1		31 18 15		29 14 11		27 10 7			25 7 4		23 9 6		213 0		196 3		0 -3 1	450
													300		150		0
А3	-9		25 12		15 0		17 0			22 4		24 10		18 0		13 0		0 4	300
				300
А4	1		28 15 13		25 10 8		21 4 2			20 2 0		23 9 7		27 9 7		29 16 14		0 -2 2	400
				50		50		150									150
А5	-6		13 0		20 5		27 10		18 0			14 0		30 12		24 11		0 4	350
		150									200
bj		400		350		50		150			200		300		350		150		1950