Примеры

• Возьмем окружность f(u) = ( rcos(2*PI*u) + p, rsin(2*PI*u) + q ), где u в пределах от 0 до 1. Касательный вектор в точке u имеет вид:

f'(u) = ( -2*PI*rsin(2*PI*u), 2*PI*rcos(2*PI*u) ) ,

а касательная к f(u):

f(u) + tf'(u) = ( rcos(2*PI*u) + p, rsin(2*PI*u) + q ) + t ( -2*PI*rsin(2*PI*u), 2*PI*rcos(2*PI*u)

• Возьмем кубическую кривую в пространстве: f(u) = ( u, u², u³ ). Имеем кас. вектор f'(u) = ( 1, 2u, 3u² ) и касательную f(u) + tf'(u) = ( u + t, u² + 2tu, u³ + 3tu² ), где t - это параметр.

• Круговая спираль имеет след. уравнение:

f(u) = ( acos(u), asin(u), bu )

Ее касательный вектор:

f'(u) = ( -asin(u), acos(u), b )

и касательная:

f(u) + tf'(u) = ( a(cos(u) - tsin(u)), a(sin(u) + tcos(u)), b(t+u) )

Нормальный Вектор и Кривизна

Возьмем фиксированную точку f(u) и две движущихся P и Q на параметрической кривой. Три эти точки единственно определяют плоскость. По мере того, как P и Q движутся к f(u), эта плоскость приближается к какому-то определенному положению. Это касательная плоскость к f(u). Конечно, кас. плоскость к f(u) содержит и касательную прямую к этой кривой. Можно показать, что кас. плоскость - плоскость, проходящая через f(u) и содержащая как f'(u), так и f''(u). Говоря точнее, любая точка на этой плоскости имеет следующее уравнение, где p и q - параметры:

f(u) + pf'(u) + qf''(u)

Бинормальный вектор b(u) - это единичный вектор векторного произведения f'(u) и f''(u):

b(u) = (f'(u) × f''(u)) / | (f'(u) × f''(u)) |

То есть, бинормальный вектор b(u) перпендикулярен как f'(u), так и f''(u), а значит, и касательной плоскости. Прямая f(u)+tb(u) - это бинормальная прямая к f(u).

Нормальный вектор - перпендикулярен касательному и бинормальному векторам, и направлен по правилу правой руки. То есть, единичный нормальный вектор n(u) определяется как

n(u) = ( b(u) × f'(u) ) / | b(u) × f'(u) |

Прямая f(u)+tn(u) - это нормальная прямая к f(u). Таким образом, касательный вектор f'(u), нормальный вектор n(u) и бинормальный вектор b(u) образуют коорд. систему с началом координат в f(u). Касательная прямая, бинормальная прямая и нормальная прямая - это коорд. оси этой системы с положительными направлениями соответственно по направлениям касательного, бинормального и нормального векторов. Три эти вектора обычно называют направляющей триадой (тройкой?) [??? moving triad] или просто триадой в точке f(u). Направл. тройку также называют направляющим трехгранником. Вот рисунок, поясняющий их взаимное расположение. Заметьте, что касательный вектор, нормальный вектор и вектор f''(u) лежат на одной плоскости.

(Tangent - касательный.)

Пример

Вычмслим касательный, бинормальный и нормальный вектора для круговой спирали:

f(u) = ( acos(u), asin(u), bu )

Первая и вторая производные:

f'(u) = ( -asin(u), acos(u), b ) f''(u) = ( -acos(u), -asin(u), 0 )

Не-единичный бинормальный вектор - это векторное произведение f'(u) и f''(u), то есть:

b(u) = f'(u) × f''(u) = ( absin(u), -abcos(u), a² )

Не-единичный нормальный вектор - это векторное произведение бинормального и касательного векторов, то есть:

n(u) = b(u) × f'(u) = ( -a(a² + b²)cos(u), -a(a² + b²)sin(u), 0 )

Сравнив n(u) и f''(u), видим, что они параллельны друг другу (т.e. их коэффициенты пропорциональны). В итоге, после нормализации всех участвующих векторов, векторы нормали и второй производной равны. Это показано на следующем рисунке. Вычисления для u = 1.