Глава 4. Рассуждение

В натуральной системе различают прямой и кос­венный вывод. Прямым выводом называется переход по логическим правилам от данной, уже полученной в выводе формулы к выводимой, то есть резуkьтирую­щей формуле. Косвенн{м выводом называется пере­ход от данного вывода к результирующему выводу по логическим правилам. Таким образом, основные ло­гические правила ВО, УД и ВИ являются правилами косвенного вывода. С другой стороны, построенный выше вывод А—»В, В—> С, А => С является прм{м, так как в нем осуществляется переход от формулы к фор­муле, но не от вывода к выводу. Построение прямого вывода обычно представляет эвристические трудно­сти, — да мы так и не рассуждаем, — поэтому кос­венный вывод принципиально облегчает нахождение метода нормализации вывода.

А -» -,((В л -,c)v Т)} С -> Е => В -»• (А -> е)
А -» -,((В л -,С) v d) С -» Е, В => А -» Е		[ПД]
А -> -4(в л -,c)v D\ С -» Е, В, А => Е		[ПД]
1. А -> -н((в /	\-,C)vD) посылка 6. -,((В A-,C)vD) (1, 4), МП
2. С-»Е	посылка 7. -iC (2, 5), МТ
3. В	посылка 8. В л -iC (3, 7), ВК
4. А	посылка 9. (BA-,c)vD (8), ВД
5. -,Е	п.к.д. (6), (9) — противоречие.

Укажите применение производного и косвенного правил вывода.

113

______________Логика_______________

Упражнения

4.4. Дайте необходимые логические обоснования для каждого шага следующего вывода:

•-А v В, -,С -> -,В, -,((С л -nD) v е) =* -,((А л -Л>) v е) ¹- -,А, -,С -» -,В, -,((С л -iD) v е) =» -,((А л -,О) v е)

^п- в, -,с -> -,в, Ц(с л -,d) v е) => -,((а л ^d) v e)

I. 1. -А.

2. -пС -» -.В

3. -,((с л -,»)v е)

4. •-,-_i((aa-,d)ve)

5. (a_a-,d)ve

6.1. Ал-^D 6.2. Е 7.1. А 7.2. (CA^D)vE. (?) — противоречие (?) — противоречие И. 1. В

2. -,С -> ~,В

3. -,((ca-d)ve)

4. -,-,((aa-,d)ve)

5. (aa-,d)ve

6.1. Ал^В 6.2. Е

7.1. ^D 7.2. (CA-iD)vE

8.1. С (?) — противоречие

9.1. Сл-0>

10.1. (CA-,D)vE (^?)— противоречие

4.5. Установите логическую корректность следу­ющих рассуждений методом натурального вывода. Подберите подходящие примеры пе­ревода логических структур рассуждений на естественный язык.

114

Глава 4. Рассуждение

2.

3.

4.

5. -iAvB,-.(BA-iC),-iCvD,D->E=>-i(A.A-iE);

6. (B a-id) -» -iA, -iB -» С, -i(C a -iD), -iD v E =» A -» E.

4.6. Задача. Ограблен склад. Подозреваются лишь А, Б или С. Известно, что С всегда «работа­ет» без помощников. А и Б — близнецы, по характеру робки и всегда «идут на дело» с соучастником. Одного из близнецов в момент ограбления видели в другом конце города. Кто виновен? (Решите задачу и укажите ло­гические правила вывода, используемые при ее решении.)

4.3. Индуктивные рассуждения

Дедуктивное рассуждение является доказатеkь­ным. Оно всегда корректно и неоспоримо, так как обеспечивает вывод заключения из заданных посы­лок с логической необходимостью. Индуктивное рас­суждение в боkьшинстве случаев тоkько прав­доподобно. Его заключение следует из посылnк с оп­ределенной долей вероятности и может оказаться ложным, даже если посылки рассуждения будут ис­тинными. Но, с другой стороны, дедуктивные рас­суждения сами по себе не приводят к принци­пиально новому знанию об изучаемой реальности. С их помощью исследуются логические связи и

115

______________Логика_______________

отношения, складывающиеся в определенной обла­сти уже известной информации. Дедуктивная сис­тема натурального вывода хорошо иллюстрирует этот факт. Все новое, что мы узнаем о мире, связано с правдоподобными, вероятностными суждениями и рассуждениями. Дедуктивные рассуждения учат доказывать, индуктивные — догадываться. Но ведь прежде чем строго доказать некоторое утвержде­ние, надо догадаться сначала, что данное утвержде­ние доказуемо, то есть является общим законом определенной теории, а кроме того, догадаться о са­мой идее и схеме возможного доказательства. Все, что процесс доказатеkьства соединяет с творческой интеллектуальной деятеkьностью, относится к обла-стг эвристики — теории правдоподобных рассуж­дений. Поэтому дедуктивные и индуктивные рас­суждения нельзя противопоставлять. Наоборот, они взаимодополняют друг друга в процессе интеллек­туальной деятельности.

Индуктивное обобщение — это логическая операция, в результате которой на основе фикси­рованных характеристик, общих для изученных объектов или событий определенного класса, дела­ется вывод о принадлежности данных характерис­тик всему классу в целnм. Например (гипотеза Гольдбаха), рассматривая последовательность ра­венств 10 = 3+7, 12 = 5+7, 14 = 3+11... можно сде­лать индуктивное обобщение: каждое четное число разложимо на сумму двух простых чисел.

В зависимости от того, сделано ли индуктивное обобщение на основе знания о принадлежности фик­сированных характеристик каждому объекту изуча­емого класса или только некоторому подклассу объек­тов данного класса, различают полную и неполную

116