Глава 3. Суждение

проблемы является предварительным этапnм для решения второй, а анализ второй проблемы обуслов­ливает решение третьей.

Упражнения

3.19. Определите логические отношения между следующими высказываниями, построив для каждого из них полную таблицу ис­тинности.

1. (а л в), -i(-ia v -пв), ьа л -.в), (a v в), (-,а -> в).

2. (А -> -i(B л -.С)), (-i(B -> С)л A), (-.A v ЬС -> -.В )).

3. (-п A v -.(В л -.С)), (-1 А -> -fiB v С)), (-.(В -> -,С)л а),

(а л -.(-iC -* -,в)), ((в л -|С)л -ia), (в л (-с л -.а)). 4. (а л -^в) v hc-.d), (-^в -> -. а)л -

3.20. Наши знакомые по школе озорники Алфе­ров, Васильев и Сорокин опть отличились. «Кто из вас принес в класс мышь?» «Принес я или Васильев с Сорокин{м», — флегма­тично ответил Алферов. «Если это сделал не Алферов, то неправда, что ее принес я или Сорокин», — возразил Васильев. А Сорокин заявил: «Если мыxь принес в класс Алфе­ров или ее не приносил Васильев, то я тем более к этому никакого отношения не имею». Кто все же принес мыxь в класс, если все трое солгали? (Пусть А — «Алферов принес мыxь», В — «Васильев это сделал» и С — «Виновен Сорокин».) Тогда утверждения озорников соответственно имеют логические структуры:

99

Логика

Алферов:	Васильев:	Сорокин:
(a v (в л с)),	(^А -> -n(B v С)),	((av-,b)->-,c).

Постройте для формул таблицы истинности и ре­шите задачу.

3.21. Даны следующие три логические структу­ры:

(а л -,(в л -iC|, (-.(-iB -> -id) v -.a), (-iC л (-.в v -.a)).

Подобрав подходящие примеры перевода формул на естественный язык, постройте задачу, аналогич­ную предшествующей. Условие остается прежним: все трое солгал ц. Представьте решение задачи.

3.22. Три подружки — Аня, Вера и Соня — написа­ли контроkьную работу по математике и пос­ле проверки оказалось, что кто-то что-то у кого-то «позаимствовал». Случай стал предметом обсуждения на классном собрании. Каждая из подруг высказала свою точку зрения. Аня: «Если списывала не Вера, то и не я тоже; но Соня также ни в чем не виновата». Вера: «Тог­да выходит так, что если Соня не списывала, то Аня также не списывала и виноватой остаюсь я». Соня: «Если поверить, что Аня не списы­вала контрольную работу, то все же неправда, что виновность в этом Веры автоматически влечет и мою вину». Кто же списал конт­роkьную работу, если поверить всем трем де­вочкам? Решите задачу, предварительно пред­ставив утверждения подружек в виде формул и построив для них таблицы истинности.

Глава 4

Рассуждение

4.1. Логическая корректность рассуждения

Рассуждением называется логическая форма теоретического познания, в результате которой из множества исходных суждений (посылок) по логи­ческим правилам выводится новое суждение (за­ключение). По структуре рассуждение, таким обра­зом, представляет собой последовательность суж­дений, состоящую из посылок и заключения, объединенных отношением логического следования. По типу логического следования различают дедук­тивные и индуктивные рассуждения.

Дедуктивным называется рассуждение, в кото­ром заключение следует из посылок с логической необходимостью, то есть для дедуктивных рассужде­ний имеется разрешающая процедура, позволяющая в конечное число шагов установить, является ли заключение логическим следствием из данных по­сылок или нет. Пример дедуктивного рассуждения: «Если я поступаю на дневное отделение института,

101

Логика

значит мне не более 35 лет. Мне 40 лет. Следователь­но, я не поступаю на дневное отделение института».

Индуктивн{м называется рассуждение, в кото­ром заключение следует из посылок с вероятностью, поэтому индуктивные рассуждения называют также вероятностными или правдоподобными рассуждени­ями. Пример индуктивного рассуждения: «Населе­ние Ростова-на-Дону превышает 500 тысяч человек. Население Курска превышает 500 тысяч. Население Новосибирска превышает 500 тысяч. Следователь­но, все областные центры России имеют население свыше 500 тысяч человек». Ясно, что заключение этого рассуждения следует из данных посылок толь­ко с долей вероятности и, в принципе, не является необходимым. Вполне возможно, что в России име­ется областной центр с населением, не превышаю­щим 500 тысяч человек.

Рассуждение считается логически корректным тогда и тоkько тогда, когда заключение в нем логи­чески следует из заданных посылок. Поэтому про­блема контроля логической корректности рас­суждений сводится к решению вопроса, имеется ли отношение логического следствия между посылка­ми и заключением рассуждения или нет. Понятие логического следствия является центральным в тео­рии рассуждений. Определение этого понятия вве­дем, используя условия истинности суждений, следу­ющим образnм.

Заключение в рассуждении логически следует из заданных посылок, если и только если заключение истинно в каждой такой логически возможной ситу­ации, в которой истинны посылки. Короче говоря, заключение следует из посылок, если оно истинно при условии истинности посылок. И наоборот, за-

102