Глава 3. Суждение

Задача. Является ли высказывание «Если нечто влечет утверждение и его отрицание, то вер­но его отрицание» логическим законом?

Решение. Данное высказывание имеет логическую структуру следующего вида:

((А -> В) Л ( А -» -, В)) -» -, А.

Рассуждаем от противного: допустим, что данное высказывание ложно, по крайней мере, в одной из ло­гически возможных ситуаций. Тогда распределение истинностных значений составляющих его подфор­мул и переменных можно поэтапно определить сле­дующим образом.

о [(а ->в)л(а -> -,в)-, -» а] 1 [(а -» в)л(а -> -пв)], о [-,а]		По допущению По таблице [-»]
1[(А 1[В]	->B)j, l[(A-*^B)], 1[А] . 1И»1	По таблицам [Л] По таблице [-»]	|„[-
1[В]	. о[в]	По таблице [-i] .

Сокращенная запись анализа логических условий истинности рассматриваемого высказывания имеет следующий вид:

((а -» в)л(а -> -л)) -> -,А Высказывание — закон логики, 11111110 001 ^т-^к- противное невозможно.

Пример. Является ли высказывание, имеющее логическую структуру

(-.A v В) -» (-i(BA-.C)-> -.(АЛ-iC)), логичес­ким законом?

Решение. Методом рассуждения от противного (методом сведения к противоречию).

83

Логика

О [(- \ v b) -» (-,(ВА-,С) -» -п(АЛ-,С))] Допущение 1 [(-,А v В)], О [-.(ВАС) <- -(АЛ-,С)] [-»]; l[(-AvB)], IHBA-.CJI, оНАА-нС)] [-»]; l[(-nAvB)], 1 КВЛ-Л)], 1 кал-с)] ; l[(-nAvB)]_f lh(BA^C)], l[A], 1[-,C] l[B], 0[(BA-,C)], Ihc]

i[b], о[в]

Сокращенная запись решения: (-,a v в) -> (-,(вл-,с) ^ -,(ал-,с))

0111 О 10 01000 1110

Аналогичным образом метод сокращенных истинностных таблиц может быть использован для определения логически ложных, то есть противо­речивых формул языка логики высказываний. От­личие состоит лишь в допущении. Если при определении логической истинности формулы предполагается от противного, что она ложна по допущению, то при определении логической лож­ности формулы, естественно, допускается ее истин­ность и демонстрируется противоречивость дан­ного допущения.

Пример. Является ли высказывание, имеющее логическую структуру

-т(АЛ-|С)Л-1(-т(--1С —> -iB)v -i(AA-iC)), логически лож­ным?

Решение. Методом сведения к противоречию.

84

Глава 3. Суждение

1 [-1(АЛ-,в)Л-,(-1(-1С -> -,В) v -,(АЛ-,С))]			Допущение
1 нал^в)],	1[н(-4пС-»-л)	v -п(АЛ-пС))]	W;
о кал-.в)],	0 [-,(-,€ -» -,В) v	чал^с)]	Н;
о [-,(ал-,в)],	0[4пС-*-,В)],	о каа-л)]	М;
оНлл^в)],	1 [_,(_,С -> -,В)],	1 [(ал-.с)]	Н;
о нал^в)],	1 [-,С -» -в],	1[А], 1М	[л];
0 [-пВ], 1 [-,]	в]		W.W;
1[в], о[в]

Сокращенная запись решения:

1 10 0 1 Ito 10 1 10 001110

Рассуждение показало, что сделанное допущение влечет противоречие. Следовательно, допущение не­верно, то есть данное высказывание не может быть истинным ни в одной из возможных ситуаций, т.е. оно ложно в каждой ситуации. Значит, оно логичес­ки ложно.