73. Прискорення гармонічного коливального руху.

Прискорення гармонічною коливального руху можна знайти так само, як ми знаходили швидкість. Доцентрове прискорення в рівномірному русі по колу, що має радіус А, як ми зна­ємо, дорівнює:

Для положення О₁ (рис. 84) воно зобразиться вектором О₁С. Розкладемо цей вектор на дві складові: 0₁D і 0₁В. На коливальний рух проекції (тіні) впливатиме лише складова:

.

Звідси прискорення в коливальному русі тіні :

.

Зміщення х коливальної точки відбувається від Р₀ до Р₁ ; приймемо напрям Р₀Р₁ за додатний, тоді O₁D=P₁C’ буде мати від'ємний напрям (знак мінус).

А що , то або: .

Рис. 84

Отже, прискорення в гармонічному коливальному русі прямо пропорційне до амплітуди, квадрата частоти і синуса фази коливання, і напрямлене воно в сторону, протилежну до зміщення.

Згадаємо, що зміщення х = А sin φ.. Порівнюючи формулу для зміщення і прискорення, маємо :

,

або:

,

тобто в гармонічному коливальному русі прискорення прямо пропорційне до добутку з квадрата частоти на зміщення і напрямлене. завжди в сторону, протилежну до зміщення, завжди до середнього положення (знак мінус). Свого найбільшого значення прискорення досягає в крайньому положенні коливального тіла, коли зміщення найбільше і х = А. В цьому випадку:

.

В середньому положенні х = 0, отже і а = 0.

Графік зміни прискорення в гармонічному коливальному русі подано на рисунку рис. 84а.

Рис. 84а.

Графік — знову синусоїда, яка відстає від синусоїди зміщення щодо фази на π. А через те, що сила f=ma, а прискорення при гармонічному коливальному русі

,

.

Позначаючи добуток (2πν)² буквою с, маємо :

f= — стх.

Сила, що діє на матеріальну точку, яка перебуває в гармонічному коливанні, пропорційна до віддалі цієї точки від середнього положення О і напрямлена до цього середнього положення.

Запитання та вправи.

1. Порівняйте між собою три графіки: зміщення, швидкості і прискорення гармонічного коливального руху, що для нього частота коливань на 1 сек.

2. Чим відрізняються один від одного графіки: а) прискорення і зміщення, б) швидкості і прискорення ?

3. Чи будуть максимуми прискорення збігатися з максимумами швидкості?

4. Визначити швидкість і прискорення тіла, яке гармонічно коливається, для моментів часу t = 1/120;1/80;1/40 секунд, якщо А = 10 см, ν = 20 коливань в 1 секунду.

74. Математичний маятник.

Математичним маятником називається важка кулька, почеплена на тонкій нитці, вагу якої можна до уваги не брати. Розміри кульки малі, а тому ми вважаємо,що вся маса її зосереджена в одній точці. За такі „матеріальні точки" для наших дослідів служать металічні кульки з гачками. Діаметр такої кульки дорівнює кільком міліметрам.

Відхилимо маятник на бік і пустимо його,— він почне гойдатися. Визначимо величину сили, що надає кульці маятника руху, коли маятник відхилений.

Розкладемо силу Р — вагу кульки (рис. 7) на дві складові в напрямі ОО₁ уздовж нитки і в напрямі О₁Р₂ перпендикулярно до нитки. Маємо силу Р₁ яка натягає нитку (вона знищується опором почепу), і силу Р₂, що рухає кульку.

З рис. 7 видно, що < Р₂РО₁ = < PO₁Р₁ = < O₀OO₁ = α. З ΔР₂О₁Р знаходимо, що:

—P₂ = Psinα, (1)

151

де α кут відхилення нитки маятника від середнього положення, а знак мінус перед Р₂ поставлено через те, що ми будемо відлічувати від середнього положення О₀ і вважати за додатний напрям від О₀ до О_1.

Отже, на кульку діє змінна сила, що її величина залежить від кута α відхилення маятника. На самім початку гойдання, при найбільшому куті α, ця сила має максимальне значення, а проходячи через вертикаль, тобто в точці О₀, вона дорівнює 0.

Через те, що за другим законом Ньютона прискорення прямо пропорцій не до сили,— прискорення безупинно зменшується від крайньої точки О₁ до середньої точки О₀. Подивимось, як змінюється прискорення маятника.

Нехай прискорення маятника в точці О₁ дорівнює α; тоді:

Р₂ = т а.

З другого боку, ми знаємо, що вага :

Р = т g,

де g — прискорення сили тяжіння. Підставивши в основну формулу (1) замість Р₂ і Р їх значення, маємо :

— та = т g sin α,

або, скоротивши обидві частини рівності на m, маємо :

— а = g sin α.

тобто, прискорення під час руху маятника прямо пропорційне до

прискорення сили тяжіння і синуса кута відхилення нитки маятника від середнього положення.

Період повного коливання маятника Т — час, за який маятник пройде дугу О₁О₀О₂ і повернеться назад у точку О₁, — можна обчислити за такою формулою:

,

де l — довжина математичного маятника ОО₁ на рис. 85.

Рис.85

Опустимо з О₁ перпендикуляр O₁B на лінію О₀О. З Δ О₁ОВ виходить, що:

Якщо кут відхилення нитки α малий (не більший від 5°), то можна з достатньою точністю вважати, що ВО₁ = О₀О₁ = x — відхилення маятника від середнього положення O₀.

Тоді:

і ,

звідки :

.

Це і є основна формула руху математичного маятника; ми бачимо що при дуже малих коливаннях прискорення під час руху математичного маятники прямо пропорційне до його відхилення х (зміщення) від середнього положення, і спрямоване в сторону, протилежну до відхилення (знак мінус).

Але це є, як ми знаємо, основна властивість гармонічного коливального руху.

Отже, при дуже малих коливаннях рух математичного маятника є окремий випадок гармонічного коливального руху.

Ми бачили, що прискорення в гармонічному коливальному русі:

, де Т — період коливання.

Підставивши в цю формулу замість а його значення для випадку коливання математичного маятника (при α < 5⁰), маємо:

.

або :

звідки визначається період Т повного коливання маятника:

Період коливання маятника Т прямо пропорційний дo кореня квадратного з довжини маятника l і обернено пропорційний до кореня квадратного з прискорення сили тяжіння g.

Формула справедлива для невеликих кутів α (менших від 5°); при цих умовах період не залежить від амплітуди.

Коливання маятника уперше дослідив Галілей. Він установив, що період коливання маятника при малих відхиленнях не залежить від амплітуди (закон ізохронізму* коливань маятника).

Запитання та вправи.

1. Обчислити довжину маятника з півперіодом, що дорівнює 1 сек.

2. Як зміниться період, якщо довжину маятника зменшити у 4 рази ?

3. Як зміниться період маятника, якщо ми примусимо його гойдатися над широким полюсом сильного магніта (кулька залізна).

4. Визначити період коливання маятника завдовжки 10 м.

5. На скільки коливань менше зробить на добу маятник завдожки на 1 м на екваторі, ніж на 50° широти (прискорення сили тяжіння на екваторі 978 см/сек², на 50° широти —981 см/сек²)?

6. Для маятника завдовжки l = 98 см півперіод коливання 1 сек. Визначити прискорення сили тяжіння.