71. Графік гармонічного коливання.

Побудуємо графік гармонічного коливального руху. Для цього на горизонтальній осі будемо відкладати час t, а на вертикальній — відхилення х. Рис. 3а пояснює побудову. В початковий момент матимемо:

і ,

через матимемо

,

тобто відхилення досягає найбільшої величини, яка дорівнює амплітуді, і т. д. Зробивши відповідні побудови для всіх можливих значень t, ми матимемо для відхилів х криву, що називається синусоїдою (рис. 81а).

Цю саму криву можна мати, відкладаючи на горизонтальній осі фазу коливання φ, а на осі ординат зміщення х, проектуючи для цього на вісь ординат відповідні положення кінця радіуса - вектора ОО₁.

Вправи.

1. Визначити частоту, коли дано період коливання :

а) Т =0,25 сек. г) Т =0,001 сек.

б) Т = 0,00001 д) Т= 10³

в) Т=2

2. Визначити період, коли дано частоту коливань:

a) ν = 1000 ; б) ν = 10⁶; в) ν = 0,1.

3. Визначити зміщення х тіла, яке гармонічно коливається, якщо А= 10 см; t = 1/120 сек.; v = 20 кол. на 1 сек.

4. Побудувати графік гармонічного коливання з періодом Т =2 сек. і амплітудою А = 10 см. Масштаб взяти для ординат ½, a для абсцис в 1 см —1/6 сек.

72. Швидкість при гармонічному коливальному русі.

Спостерігаючи рух коливального тіла, ми помічаємо, що в міру того, як воно віддаляється від середнього положення Р₀, швидкість поступово зменшується. У крайніх положеннях Р₂ і Р₆ швидкість дорівнює нулеві. Коли тіло рухається від крайніх положень до середнього, швидкість зростає і найбільшого значення досягає, проходячи через середнє положення.

Надамо швидкого коливального руху нашій кульці; коливання її тіні (проекції на екрані) будуть дуже часті. За рухом ми можемо спостерігати тільки біля її крайніх положень, а в середніх положеннях тінь рухається так, що око не встигає її уловлювати.

В момент проходження через середнє положення тінь рухається так само швидко, як і кулька по колу; ми їх і зображуємо однаковими векторами O₀Е = Р₀Е' (рис.82).

Рис.82.

В якомусь положенні P₁ швидкість руху тіні стає менша, ніж у точці Р₀. А швидкість кульки, що рухається рівномірно колом, залишилася та сама, але має інший напрям; зображуємо її вектором О₁С, Розкладемо цей вектор швидкості O₁C на дві складові: O₁D, паралельну до коливального руху тіні, і на вектор O1B, перпендикулярний до екрана.

Друга складова швидкості О₁В лише наближає і віддаляє кульку від екрана, а це не впливає на рух тіні, тобто на коливальний рух, і швидкість руху тіні залежить тільки від першої складової O₁D, яка й спричиняє переміщення її від середнього положення.

Рис. 83

Отже, виявляється, то швидкість тіні в нашому коливальному русі у точці Р₁ дорівнює векторові Р₁С =O₁D.

А через те,щo<CO₁D=О₁ОО₀= φ, то з ΔCO₁D виходить, що:

O₁D = О₁С cos φ,

P₁C'=O₁C cos φ.

P₁C'є проекція O₁C на пряму P₀C’.

Через це швидкість (Р₁С’) руху проекції точки О₁ дорівнює проекції (O₁C cos φ) швидкості (О₁С) руху самої точки.

Ми знаємо, що швидкість руху кульки по колу :

,

а Р₁С = v є швидкість коливального руху тіні. Звідси :

, або .

Отже, швидкість у гармонічному коливальному русі прямо пропорційна до амплітуди, частоти і косинуса фази коливання.

Для середнього положення Р₀ фаза φ = 0; cos φ =cos 0⁰ =1, і швидкість набирає найбільшого значення :

.

У крайньому положенні Р₂ фаза ; , і швидкість коливання дорівнює нулеві.

В міру того, як коливальне тіло віддаляється від середнього положення фаза зростає від 0 до π/2) cos φ зменщується від 1 до 0, відповідно зменшується і швидкість v.

Побудуємо графік швидкості так само, як будували ми графік зміщення. Матимемо криву, дану на рис. 83. Ця крива є вже відома нам синусоїда, тільки вона порівнюючи з синусоїдою зміщення коливального тіла зсунута й випереджає її щодо фази на π/2. Це так і повинно бути, оскільки cos φ = sin (φ+ π/2).