V III. Коливання і хвилі.

Рис. 79.

69. Коливний рух.

У природі і техніці ми дуже часто зустрічаємося з рухами періодичними, тобто такими, при яких дана точка повторює той самий рух щоразу за однаковий час. Проміжок часу, через який цей рух знову повторюється, називається періодом. Серед періодичних рухів велике значення мають так звані коливальні рухи, при яких точка рухається коло свого середнього положення. Приклади таких рухів: гойдання маятника, дрижання струни, рух поршня парової машини, кочення кульки в увігнутій чаші і т. д.

Важка куля висить на пружині (рис. 79). Штовхнемо її вгору. Вона буде рухатися вгору і вниз коло свого середнього положення.

Кинемо за допомогою світла з ліхтаря тінь від такої кулі на екран. Ми побачимо, що тінь робитиме на екрані також коливальний рух. Такий коливальний рух тіні можна отримати ще й іншим способом. Кульку О (рис. 80) укріплено на диску D, що обертається навколо вертикальної осі. Кинемо від неї тінь Р₀ на екран. Будемо обертати рівномірно круг D. Тінь Р на екрані бігатиме в лівий і в правий бік коло свого середнього положення Р₀, роблячи коливний рух. Тінь є проекція кульки О, а кулька рухається рівномірно по колу (О₀О₁О₂О₃…) (рис. 81). В той час, коли кулька О описує один повний оборот по колу, її тінь відхиляється від середнього положення спершу в лівий бік до Р₂, потім повертається назад, проходить через положення Р₀ (кулька в цей час в О₄), рухається далі в правий бік до Р₆, тоді знову повертається в Р₀; отже за той час, коли кулька один раз обернеться по колу, її проекція - тінь робить одне повне коливання.

Періоди руху кульки і її тіні однакові. Що швидше будемо обертати кульку О, то менший буде період її коливального руху. Менший буде й час одного повного коливання — період коливання— тіні Р. Що коротший період коливання, то частіші ці коливання, і, навпаки, що більший період, то менша частота коливань. Частота коливань є число коливань (повних) за одиницю часу (одну секунду).

Рис. 80

Частота колисань v* обернено пропорційна до періоду Т:

або .

Справді, якщо за одну секунду ми маємо 10 коливань, то, очевидно, одне коливання триває 0,1 секунди. Якщо одне коливання відбувається за 0,05 секунд, то протягом однієї секунди відбудеться 1:0,05 = 20 коливань.

Рухи кулі, почепленої на пружині, і тіні, що ми спостерігали, належать до простих коливних рухів і називають гармонічними коливаннями (суть цієї назви буде з'ясована далі).

Рис.81 Рис.81а.

70. Рівняння гармонічного коливального руху.

Щоб схарактеризувати гармонічне коливання, треба знати, чому дорівнює відхилення тіла, яке коливається, від його середнього положення для всякого моменту часу.

Позначимо відхилення тіні (рис. 81) від її середнього положення Р₀ буквою x. Відшукаємо, чому дорівнює х для якого-небудь положення тіні, наприклад P₁. Нехай х = Р₀Р₁ З рис. 3 видно, що :

х = P₀P₁= ВО₁ *.

Далі з Δ ОВО₁ виходить, що В0₁ = ОО₁ sin φ. Позначимо радіус кола, яким обертається кулька О₀, буквою А. Тоді ОО₁ = А і

х = A sinφ (1)

З'ясуємо, чому відповідають А і φ в нашому коливальному русі.

Легко бачити, що А = ОО₂ = Р₀Р₁, тобто найбільшому відхиленню коливального тіла від його середнього положення, це — так звана амплітуда коливання.

Очевидно, що P₀P₆, = - Р₀Р₂ = - А.

За абсолютною величиною найбільші відхилення по обидві сторони середнього положення однакові.

Віддаль між двома крайніми положеннями Р₂ і Р₆ у коливальному русі, що називається розмахом коливання, дорівнюватиме двом амплітудам.

З'ясуємо значення φ. У коливальному русі φ є кут, на який переміщається наша кулька за час, що минув з моменту виходу її з нульового положення О₀. Ми, знаємо, що у коливальному рівномірному русі кутове переміщення (виражене радіанами).

У коливальному русі: називається фазою.

Ми бачимо, що фаза пропорційна до часу t, який минув від початку коливання.

Фаза показує, в якій стадії від початкового середнього положення перебуває в даний момент часу t наше коливальне тіло.

Нанесені на рис. 81 окремі положення Р₀, Р₁, Р₂ і т. д. відповідають різним фазам коливання, що різняться в часі одна від одної на ; а різниця фаз в цьому випадку буде в радіанах, або в градусах 45⁰.

Положення Р₁ і Р₃ геометрично зливаються, але фази для цих положень різні ( і ). Обидва положення Р₁ і Р₃ відповідають різним стадіям коливання: у пертому випадку тінь рухається в одному напрямі (на рис. 81 вгору), у другому (Р₃) — в протилежному напрямі.

Наше рівняння (1) коливального руху, коли підставити в нього матиме такий вигляд:

(2)

або

(3)

Зміщення в гармонічному коливальному русі пропорційне до амплітуди і до синуса фази коливання.