Р Дано: , . Ешение:

Н аправим ось Ох вдоль направления r. Тогда , , . Так как , то Численное значение

О твет: направлен к заряду.

13.9. Эквипотенциальные поверхности

Д ля графического изображения распределения потенциала используют эквипотенциальные поверхности.

Э квипотенциальная поверхность (от лат. aequus - равный) – воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал (рис. 13.9.1). Так как , то работа по перемещению заряда по любой траектории вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю:

.

С другой стороны, , следовательно , откуда . Таким образом, .

С ледовательно, вектор напряженности в каждой точке направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности. Приняв во внимание, что вектор направлен по касательной к силовой линии, можно сделать вывод: силовые линии в каждой точке ортогональны к эквипотенциальной поверхности. Например, для точечного заряда эквипотенциальные поверхности будут иметь форму коаксиальных сфер (рис. 13.9.2), для бесконечной плоскости – ряд параллельных плоскостей (рис. 13.9.3). Сечения эквипотенциальных поверхностей какой-либо плоскостью называются эквипотенциальными линями.

Глава 14. Основные уравнения электростатики в вакууме

14.1. Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса

П оля, описываемые с помощью векторной величины, называются векторными (электрическое поле описывается векторной величиной , следовательно, является векторным). Для векторных полей вводят понятие потока вектора через поверхность.

Применительно к однородному электрическому полю, потоком вектора напряженности через площадку S называется величина , равная

,

где - угол между и нормалью к площадке S (рис. 14.1.1).

В случае неоднородного поля и поверхности произвольной формы, поверхность можно разбить на совокупность элементарных площадок dS, в пределах которых поле можно считать однородным (рис. 14.1.2). Тогда поток вектора напряженности через элементарную площадку равен

,

где - проекция вектора на направление нормали к площадке .

Поток вектора напряженности электрического поля через произвольную поверхность S равен:

.

Поток – величина алгебраическая. Знак потока зависит от выбора направления нормали к элементарным площадкам. Изменение направления нормали на противоположное изменит знак потока. В случае замкнутых поверхностей принято считать знак потока положительным, если силовые линии выходят из охватываемой области наружу.

Размерность потока в СИ – .

Окружим точечный заряд q замкнутой сферической поверхностью радиуса r и вычислим поток вектора напряженности через поверхность сферы (рис. 14.1.3).

Вектор напряженности на поверхности сферы перпендикулярен к поверхности, а его модуль равен

Тогда .

П олученный результат не зависит от формы и размеров выбранной поверхности, поскольку поток пропорционален количеству силовых линий, пересекающих данную поверхность, и в случае выбора замкнутой поверхности любой формы, он не изменится, так как силовые линии нигде не прерываются.

Если внутри сферической поверхности находится не один, а несколько зарядов, то берут их алгебраическую сумму:

. (14.1.1)

Полученная формула – есть математическая запись теоремы Гаусса: поток вектора напряженности электростатического поля через любую замкнутую поверхность, равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на электрическую постоянную.

Отметим, что теорема Гаусса является прямым следствием закона Кулона и одной из основных теорем электростатики.

Пример 14.1.1. Определить поток вектора напряженности электростатического поля через сферическую поверхность, охватывающую точечные заряды и .