1.8. Теорема Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме. Уравнения Пуассона и Лапласа

Прямая задача электростатики– определение потенциала и напряженности поля по заданному распределению зарядов – может быть решена различными методами. В принципиальном смысле все они равноценны, однако требуют различного объема вычислительной работы. Целесообразно выбрать тот метод, который приводит к искомому результату наиболее простым путем.

Использование принципа суперпозиции электрических полей. Этот метод предполагает прямое использование закона Кулона. Напряженность поля в точке вычисляется как сумма напряженностей, создаваемых всеми элементамиdl,dsиdVлинейных, поверхностных и объемных зарядов. Трудность заключается в том, что приходится суммировать векторы, что значительно усложняет вычисления. Определение потенциала этим методом предполагает суммирование потенциалов точечных зарядов. Это возможно только в тех случаях, когда заряды распределены в конечной области пространства и потенциал в бесконечности можно принять равным нулю. И в том и в другом случае точные решения могут быть получены только для систем зарядов, обладающих каким-либо типом симметрии.

Использование теоремы Остроградского-Гаусса. При наличии симметрии в некоторых случаях наиболее эффективным методом определения напряженности поля является применение теоремы Остроградского-Гаусса. Однако для определения напряженности поля, создаваемого произвольной системой зарядов, этот метод неприменим.

Использование уравнений Пуассона и Лапласа. Для практических расчетов электрических полей, как правило, используется сведение задачи к решению дифференциальных уравнений для потенциала. Чтобы получить эти уравнения, представим сначала теорему Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме. Попытаемся связать напряженность поля в некоторой точке пространства с объемной плотностью заряда в этой же точке.

Допустим, что электрический заряд произвольным образом распределен в пространстве и зависимость объемной плотности заряда от координат известна. Охватим некоторую точкуAзамкнутой поверхностью, ограничивающей бесконечно малый объемdV, в пределах которого объемную плотность заряда можно считать постоянной, (рис. 1.27) и подсчитаем поток вектора напряженности через эту поверхность.

Представим вектор в виде:. Ограниченный поверхностью объем имеет вид кубика с размерами реберdx,dy,dz.

Поток вектора через левую грань кубика может быть записан в следующей форме:

где E_y(y)– значение проекции вектора смещения на левой грани кубика, т.е. в точке с координатойу;dS₁– площадь левой грани кубика, причемdS₁=dx dz.

Аналогично, поток вектора напряженности через правую грань кубика –

где dS₂– площадь правой грани кубика, причемdS₂=dx dz. Значение проекции вектора напряженности на правой грани кубика, т.е. в точке с координатойy + dy, можно представить так:

Суммарный поток вектора напряженности через грани кубика, перпендикулярные оси OYсоставит

Аналогично можно получить потоки вектора смещения через грани кубика, перпендикулярные оси OZ:

а также через грани, перпендикулярные оси OX:

Тогда полный поток через всю замкнутую поверхность получаем, сложив выражения (1.33) – (1.35):

Электрический заряд, заключенный в объеме dVи охваченный замкнутой поверхностью, равен произведению объемной плотности заряда и объема кубика:

Согласно теореме Остроградского-Гаусса получаем

Левая часть полученного соотношения в векторной алгебре называется дивергенциейвектора:

Дивергенция вектора характеризует его “расходимость” и по определению численно равна пределу отношения потока вектора через поверхность, ограничивающую некоторый объем ΔV, к объему при его стремлении к нулю.

Таким образом, дивергенция вектора напряженности электростатического поля равна объемной плотности заряда, деленной на ₀.

Это выражение представляет собой теорему Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме. Физический смысл (1.39) заключается в том, что источниками электростатического поля являются электрические заряды. С помощью этого уравнения легко решитьобратную задачу электростатики– определить объемную плотность заряда, если известна зависимость от координат напряженности поля. Однако решить прямую задачу нельзя, поскольку одно уравнение не позволяет определить три проекции вектора напряженности. Следовательно, необходимо вывести аналогичное уравнение для скалярной характеристики поля – потенциала.

Используя дифференциальную связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля, выражение (1.38) можно записать в виде

тогда (1.39) можно переписать так

.

Левая часть полученного равенства представляет собой операцию суммирования вторых частных производных скалярной функции по координатам. В математике это выражение называют оператором Лапласаи обозначают²  Δ(не путайте символ операторас обозначением приращения некоторой величины!). Таким образом, мы получаем

Это дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных, называемоеуравнением Пуассона,позволяет по заданному распределению зарядов получить распределение потенциала электростатического поля, созданного ими. Если объемных зарядов нет (вакуум), то уравнение (1.40) принимает вид

иназываетсяуравнением Лапласа.

Уравнения Пуассона и Лапласа решают при заданных краевых условиях, то есть при заданном потенциале на границе области, в которой определяется поле. По найденной зависимости потенциала от координат определяют напряженность поля.