3.3. Энергия электростатического поля.Объемная плотность энергии

Рассмотрим процесс зарядки проводника. Чтобы его заряд достиг величины Q, будем сообщать проводнику заряд порциямиdq, перенося их из бесконечно удаленной точки1на поверхность проводника в точку2(рис. 3.12).

Для передачи проводнику новой порции заряда dqвнешние силы должны совершить работу против сил электрического поля :

Потенциал бесконечно удаленной точки примем равным нулю – ₁ = 0. Потенциал точки2равен потенциалу проводника. Поэтому

Если проводнику передан заряд q, то его потенциал. Полная работа внешних сил по зарядке проводника зарядомQбудет равна

Согласно закону сохранения энергии, приращение электрической энергии проводника равно работе внешних сил:

Рассмотрим теперь процесс зарядки конденсатора электроемкостью Сот источникаЭДС. Источник в процессе зарядки переносит заряды с одной пластины на другую, причем сторонние силы источника совершают работу по увеличению энергии конденсатора:

где Q– заряд конденсатора после зарядки. Тогда энергия электрического поля, созданного конденсатором, определится как

Учитывая, что Q =C|₁–₂|, а

энергию электрического поля можно представить двумя способами:

и.

Сопоставление двух соотношений позволяет задать вопрос: что является носителем электрической энергии? Заряды (первая формула) или поле (вторая формула)? Оба записанных равенства прекрасно согласуются с результатами экспериментов, т.е. расчет энергии поля можно одинаково правильно вести по обеим формулам. Однако такое наблюдается только в электростатике, т.е. когда осуществляется расчет энергии поля неподвижных зарядов.

При рассмотрении теории электромагнитного поля в дальнейшем (гл. 8) мы увидим, что электрическое поле может создаваться не только неподвижными зарядами. Электростатическое поле – это частный случай электромагнитного поля, существующего в пространстве в виде электромагнитной волны. Его энергия распределена в пространстве с определенной плотностью. Введем понятие объемной плотности энергии поляследующим образом.

Преобразуем последнее равенство (3.15) для случая плоского конденсатора, подставив выражение для электроемкости и воспользовавшись связью разности потенциалов и напряженности однородного поля:

где V = Sd– объем конденсатора, т.е. объем части пространства, в котором создано электрическое поле.

Объемной плотностью энергии поляназывается отношение энергии поля, заключенного в малом объеме пространства к этому объему:

Следовательно, энергию однородного электрического поля можно рассчитать так:

Сделанный вывод можно распространить на случай неоднородного поля таким образом:

где dV– такой элементарный объем пространства, в пределах которого поле можно считать однородным.

Для примера рассчитаем энергию электрического поля, созданного проводящим шаром радиусом R, заряженным зарядомQ, и находящимся в среде с относительной диэлектрической проницаемостью. Зависимость напряженности электрического поля, создаваемого заряженным шаром, от радиуса имеет вид:

Тогда выражение для объемной плотности энергии поля записывается так:

Поскольку напряженность поля зависит только от радиальной координаты, то она будет практически постоянна в пределах тонкого сферического слоя с внутренним радиусом rи толщинойdr(рис. 3.13).

Объем этого слоя . Тогда энергия поля определится так:

Аналогичный результат мы бы получили, если бы вычисляли энергию заряженного шара по формуле (3.15), воспользовавшись выражением электроемкости уединенного шара C =4₀R:

Однако следует помнить, что такой способ неприменим, если необходимо найти энергию электрического поля, заключенную не во всем объеме поля, а лишь в его части.