3.1. Проводники в электростатическом поле

В отсутствии внешнего электростатического поля свободные электроны хаотично располагаются в проводнике; при этом электрические поля электронов проводимости и положительных ионов металла взаимно компенсируются. Если проводник внесен во внешнее электростатическое поле напряженностью (рис. 3.1), то под действием этого поля электроны проводимости приходят в движение и при этом возникает внутреннее поле с напряженностью.Перераспределение зарядов происходит до тех пор , пока напряженность результирующего поля в проводнике не станет равной нулю.

Свободные электроны смещаются в сторону, противоположную направлению внешнего поля , располагаясь на поверхности проводника, а положительные неcкомпенсированные заряды ионов металла остаются на поверхности проводника в направлении вектора напряженности внешнего поля. Явление перераспределения свободных зарядов в проводнике под действием внешнего электрического поля называетсяэлектростатической индукцией. В проводнике появляется электрическое поле разделенных зарядов с напряженностью. В процессе разделения зарядов суммарная напряженность поля в проводнике уменьшается:. Это перераспределение зарядов продолжается до тех пор, пока напряженность поля внутри проводника не станет равным нулю. Таким образом, в любой точке проводника электрическое поле электронов проводимости и положительных ионов проводника компенсирует внешнее поле.Напряженность поля вне проводника также является суперпозицией напряженности внешнего поля и поля индуцированных зарядов.

Поскольку распределение зарядов по поверхности проводника стационарно (заряды неподвижны), то касательная к поверхности проводника составляющая напряженности результирующего электростатического поля равна нулю. Это означает, что вектор и силовые линии результирующего поля перпендикулярны к поверхности проводника. Из этого следует, что поверхность проводника является эквипотенциальной, т.е. потенциал поверхности проводника одинаков во всех точках.

Если рассмотреть любые две точки внутри проводника и определить разность потенциалов между ними, то, так как напряженность поля внутри проводника равна нулю, мы получаем

.

Это означает, что весь проводник представляет собой эквипотенциальный объем. Для определения плотности зарядов на поверхности проводника выделим малый элемент его поверхности площадью S (рис.3.2).

Построим замкнутую гауссову поверхность в виде цилиндра, площадь оснований которого равна S, а сами основания расположены по обе стороны поверхности проводника на расстоянияхhот нее. Поток напряженности поля через эту поверхность определится следующим образом:

.

Здесь s_бок,s_верхн,s_нижн– площади боковой поверхности цилиндра, его верхнего (на рис.3.3) и нижнего оснований. Поскольку выбранная гауссова поверхность охватывает заряд, расположенный на поверхности проводника, то, по теореме Остроградского–Гаусса,

или

т.е. плотность электрического заряда на поверхности проводника прямо пропорциональна напряженности поля вблизи его поверхности.

Как связана поверхностная плотность распределения зарядов с кривизной поверхности проводника? Для ответа на этот вопрос рассмотрим сначала заряженный проводящий шар. Если заряд шара равен Q, а радиусR, то потенциал поверхности шара равен

=.

Помножив и поделив последнее выражение на R, получим

Поскольку кривизна поверхности шара постоянна () и потенциал одинаков в любой точке, то, т.е. заряды по поверхности проводящего шара распределены равномерно.

Рассмотрим распределение зарядов по поверхности проводника с различными радиусами кривизны в разных точках поверхности. Пусть два заряженных шара разных радиусов иимеют зарядыи(рис.3.3).

После соединения этих шаров тонкой проволокой образуется один проводник с изменяющейся кривизной поверхности. Заряды перераспределяются между шарами до тех пор, пока их потенциалы не станут равны (зарядами на поверхности проволоки пренебрежем).

,

где и– новые заряды шаров. Из последнего выражения с учетом (3.2) получаем. Таким образом, поверхностная плотность зарядов увеличивается на тех участках поверхности проводника, где радиус кривизны поверхности меньше. В результате вблизи острых концов проводников накапливается большой заряд и создается сильное электростатическое поле с большой напряженностью.

На рис. 3.4 показано распределение силовых линий поля, создаваемого заряженным проводником произвольной формы. Вблизи острия густота силовых линий поля больше. Следовательно, модуль напряженности поля значительно выше.

Перечислим основные выводы:

• 1) электростатическое поле внутри проводника отсутствует;

• 2) при помещении проводника в электростатическое поле на поверхности проводника возникают индуцированные заряды;

• 3) свободные заряды, привнесенные на проводник, также распределяются по его поверхности;

• 4) силовые линии электростатического поля вблизи поверхности проводника перпендикулярны к его поверхности;

• 5) все точки проводника имеют одинаковый потенциал;

• 6) поверхностная плотность зарядов на поверхности проводника обратно пропорциональна радиусу кривизны поверхности.