5.5. Магнитный поток. Потокосцепление

Назовем потоком магнитной индукции (магнитным потоком) через элемент поверхностиdSвеличину

где – единичный вектор нормали к поверхности в месте расположения элементаdS(рис.5.28).

Выражение (5.35) можно преобразовать, если ввести понятие вектора площади элемента поверхности как произведения площади поверхности и единичного вектора нормали к этой поверхности:

причем.

Тогда магнитный потокможно определить какскалярное произведение вектора площади элемента поверхности на магнитную индукцию:

Малый элемент поверхности dSвыбирается таких размеров, чтобы его можно было считать плоским, а магнитное поле в его пределах можно было считать однородным.

Магнитный поток через всю поверхность Sнаходится как алгебраическая сумма потоков через все малые участки этой поверхности:

Знак магнитного потока определяется относительно произвольно выбранного направления нормали к поверхности. В случае выпуклой или замкнутой поверхности принято использоватьвнешние нормали , т.е.положительным считается направление из области, ограниченной этой поверхностью. По своему физическому смыслу магнитный поток аналогичен потоку вектора напряженности электрического поля:магнитный поток через поверхность пропорционален числу линий магнитной индукции, пересекающих эту поверхность.

В случае, когда имеют дело с контуром, состоящим из Nодинаковых витков, говорят о потокосцеплении.Потокосцепление  есть сумма магнитных потоков сцепленных со всеми витками:

 = NФ.

Единица измерения магнитного потока в СИ называется вебер (обозначение Вб в честь немецкого физика В.Э. Вебера, предложившего вместе с К.Ф. Гауссом систему единиц для электрических величин): 1 вебер – это поток однородного магнитного поля с индукцией 1 тесла через поверхность площадью 1 м², расположенную перпендикулярно линиям магнитной индукции;

1Вб = 1 Тл 1 м².

Поскольку линии магнитной индукции всегда замкнуты, то при вычислении магнитного потока через любую замкнутую поверхность необходимо учитывать, что число линий индукции, пересекающих поверхность в одну сторону (“входящих в нее”), всегда равно числу линий индукции, пересекающих поверхность в другую сторону (“выходящих в нее”). Поэтому суммарный магнитный поток через любую замкнутую поверхность всегда равен нулю:

Физический смысл этого факта заключается в том, что в природе нет магнитных зарядов, т.е. источников магнитного поля, на которых начинались бы или заканчивались линии магнитной индукции. Опыты показали, что, разрезая постоянный магнит на части, нельзя разделить его полюсы, т.е. нельзя получить магнит либо с одним северным, либо с одним южным полюсом. Следовательно, в отличие от электрических зарядов, магнитных зарядов действительно не существует.

5.6. Работа сил магнитного поля по перемещению проводника и контура с током

Допустим, что провод с током может свободно перемещаться во внешнем магнитном поле под действием силы Ампера. Это можно осуществить с помощью скользящих контактов между концами провода и остальными участками замкнутой цепи (рис. 5.29). Внешнее поле будем предполагать однородным и направленным перпендикулярно к плоскости рисунка.

При указанных на рисунке направлениях тока и магнитного поля сила Ампера будет направлена вправо и равна

F = IBl,

где l– длина перемещающегося участка тока. На путиdxэта сила совершает над проводником работу

dA = Fdx = IBldx.

Произведение ldx равно заштрихованной площади (рис. 5.29), аBldx –потоку магнитной индукцииdФчерез эту площадку. Поэтому можно записать

dA = IdФ,(5.38)

где dФ– поток магнитной индукции, пересекаемый проводником при его движении.

Полученный результат легко обобщить на случай неоднородного поля. Для этого нужно разбить проводник на участки dlи сложить элементарные работы, совершаемые над каждым участком (в пределах каждой площадкиdldxмагнитную индукцию можно считать постоянной).

Если вектор образует с нормалью к поверхности, очерчиваемой проводником, угол, отличный от нуля, направление силы составит с направлением перемещения также уголи

dA = Fcos dx = IB_ndldx,

где B_n = B cos – составляющая вектора магнитной индукции, по направлению к нормали к площадкеdldx.ПроизведениеB_ndldxестьdФ– магнитный поток, пересекаемый элементом проводника. Таким образом и в этом случае мы приходим к формуле (5.38)

Работа сил магнитного поля по перемещению проводника с током равна произведению силы тока в проводнике и магнитного потока через поверхность, очерчиваемую проводником при движении.

Заметим, что работа по перемещению проводника с током совершается не за счет энергии магнитного поля (сила Лоренца работы не совершает), а за счет энергии источника, поддерживающего ток в электрической цепи, в которую входит рассматриваемый провод.

Найдем работу, совершаемую над замкнутым контуром при его перемещении в магнитном поле. Предположим, что контур, перемещаясь, остается все время в одной плоскости (рис. 5.30; вектор направлен за чертеж).

Силы, приложенные к правой части 1–2контура, образуют с направлением перемещения острые углы. Следовательно, совершаемая ими работаА₁положительна. Согласно формуле (5.38) эта работа пропорциональна силе токаIв контуре и пересеченному участком1–2потоку магнитной индукции. Участок1–2пересекает при своем движении потокФ₀ через заштрихованную поверхность и потокФ_к, пронизывающий контур в его конечном положении.

Таким образом,

А₁ = I(Ф₀ + Ф_к).

Силы, действующие на левый участок контура 2–1, образуют с направлением перемещения тупые углы. Поэтому совершаемая ими работа отрицательна. Абсолютная ее величина пропорциональна потоку, пересекаемому участком2–1, который слагается изФ₀ и Ф_н– потока, пронизывающего контур в начальном положении. Следовательно,

А₂ = – I(Ф₀ + Ф_н).

Работа, совершаемая над всем контуром, равна

А₁ + А₂ = I(Ф₀ + Ф_к) – I(Ф₀ + Ф_н) = I(Ф_к – Ф_н).

Разность магнитного потока через контур в конце перемещения Ф_ки потока в началеФ_ндает приращение потока через контурΔФ. Таким образом,

A = IΔФ. (5.39)

Работа сил магнитного поля по перемещению контура с током равна произведению силы тока в контуре и приращения магнитного потока через площадь, ограниченную контуром:

При выводе формулы (5.39) были сделаны определенные предположения о характере движения контура. Можно показать, что эта формула остается справедливой при любом движении контура в произвольном магнитном поле.