2.4. Теорема Остроградского–Гаусса для электростатического поля в диэлектриках

Электрическое поле в диэлектрической среде создается как свободными, так и связанными зарядами. Вектор напряженности характеризует результирующее поле. Согласно принципу суперпозиции (1.9), напряженность поля в веществе равна геометрической сумме напряженностей полей свободных и связанных зарядов:

.

Теорема Остроградского–Гаусса (1.26) может быть применена для расчета электростатического поля в диэлектрической среде, если в правой части равенства рассматривать алгебраическую сумму всех свободных и связанных зарядов, охватываемых гауссовой поверхностью:

Использование полученного соотношения для расчета напряженности поля, создаваемого заданной системой свободных зарядов в диэлектрической среде, осложняется тем, что заранее не известно распределение связанных зарядов в поле. Соответственно, невозможно определить величину связанного заряда, попавшего внутрь гауссовой поверхности. Поскольку молекулы диэлектрика электрически нейтральны, то вклад в заряд внесут только те молекулы, диполи которых “перерезаются” гауссовой поверхностью. Чтобы определить их число, рассмотрим поляризованный диэлектрик, диполи которого ориентированы по направлению(рис.2.6).

На рисунке указан фрагмент гауссовой поверхности площадью dS, внешняя нормаль к немуи “перерезанный” молекулярный диполь с плечом. Ориентация диполей приводит к тому, что часть молекулярных зарядов перерезанных диполей выходит за пределы гауссовой поверхности, а часть зарядов входит внутрь нее. Покидают объем, ограниченный гауссовой поверхностью, положительные заряды, а входят в него отрицательные.

Выделим некоторый объем диэлектрика в виде косого цилиндра, образующая которого параллельна . Гауссова поверхность разбивает объем цилиндра на две части. На рис. 2.6 слева отdS, т.е. внутри гауссовой поверхности, располагается часть выделенного объема диэлектрика с образующей длиной. Общее число положительных зарядов, покинувших этот объем диэлектрика, равно, гдеп– концентрация молекул диэлектрика. Справа от элемента dS, т.е. вне гауссовой поверхности, располагается часть выделенного объема диэлектрика с образующей длиной. Общее число отрицательных зарядов, покинувших этот объем диэлектрика и вошедших внутрь гауссовой поверхности, равно. Поскольку отрицательный и положительный заряды молекулярных диполей равны по модулю (), то можно определить модули “вышедших” и “вошедших” зарядов:,. Однако, увеличение отрицательного связанного заряда, находящегося внутри гауссовой поверхности, на величинуэквивалентно уменьшению положительного связанного заряда, находящегося внутри гауссовой поверхности на такую же величину. Таким образом, при поляризации диэлектрика число положительных связанных зарядов, находящихся вблизи участка гауссовой поверхности площадьюdS, уменьшается на. Учтем, что, а. Тогда. В целом из объема, ограниченного гауссовой поверхностью, уходит электрический заряд

С учетом полученного соотношения преобразуем выражение (1.26) теоремы Остроградского–Гаусса следующим образом:

.

Введем еще одну физическую величину – вектор электрической индукции (часто его называют вектором электрического смещения):

где  = 1+  – относительная диэлектрическая проницаемость.

Теперь (2.15) запишем в виде

Поток вектора электрической индукции определяется только свободными зарядами, поэтому в таком виде теорему Остроградского–Гауссаудобно применять в диэлектрических средах:поток вектора электрического смещения через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов, охваченных этой поверхностью.

При расчете напряженности электростатического поля в диэлектрической среде необходимо сначала определить модуль и направление вектора электрического смещения (как это было сделано в п. 1.7 для вектора). Затем, пользуясь соотношением (2.16), необходимо определять величину.Рассмотрим пример 1, приведенный в п. 1.7, и определим напряженность электростатического поля во всех точках пространства, если электрический заряд равномерно распределен по объему диэлектрического шара радиусомR, относительная диэлектрическая проницаемость которого равна. Повторяя рассуждения п.1.7, получаем

Так как , то

Графики полученных зависимостей приведены на рис. 2.7 и 2.8. Отметим, что зависимость имеет разрыв на поверхности шара (при), так как на ней находится связанный положительный заряд.

Рассмотрим физический смысл относительной диэлектрической проницаемости . Пусть в вакууме (при отсутствии диэлектрика) совокупность свободных зарядов создает электрическое поле, характеризующееся вектором. В диэлектрике те же свободные заряды создадут поле, для которого. В соответствии с (2.15),. Поэтому

Поскольку ,из этого соотношения следует, что относительная диэлектрическая проницаемость показывает, во сколько раз напряженность электростатического поля в вакууме больше, чем напряженность поля в диэлектрике. Таким образом, диэлектрик обладает способностью ослаблять электрическое поле.