5.2. Циркуляция магнитной индукции.Закон полного тока

Рассчитаем циркуляцию магнитной индукциивдоль произвольного замкнутого контура.

Сначала рассмотрим магнитное поле, созданное длинным прямолинейным проводником с током I. Линии магнитной индукции поля такого проводника представляют собой окружности, центры которых совпадают с осью проводника. На рис. 5.10 показана одна из линий магнитной индукции; проводник с током расположен перпендикулярно плоскости рисунка, направление тока “от нас”.

Модуль магнитной индукции в каждой точке окружности радиуса r определяется по (5.12):

Направление при выбранном направлении тока в проводнике указано на рис. 5.10 в соответствии с правилом буравчика. Вычислим циркуляцию магнитной индукции вдоль контура, совпадающего с линией магнитной индукции, причем направление обхода выберем по часовой стрелке. Тогда элемент окружностисовпадает в каждой точке по направлению с вектором. Тогда

где d – угол, под которым элементвиден из центра окружности. Циркуляция магнитной индукции по всему замкнутому контуру будет определяться так:

Таким образом, в отличие от циркуляции напряженности электростатического поля, циркуляция магнитной индукции по замкнутому контуру не равна нулю, следовательно, магнитное поле не является потенциальным.

Теперь вычислим циркуляцию магнитной индукции вдоль произвольного контура L, не совпадающего с линией магнитной индукции (см. рис. 5.11).

Учитывая, что dlcos = rd , можем записать:

Интегрируя по углу от0до2 , получаем:

Отметим, что в случаях, изображенных на рис.5.10 и 5.11, контуры интегрирования “охватывали” проводник с током, т.е. проводник с током пересекал поверхность, ограниченную контуром L. Такой проводник (или ток) называютпроводником (током), сцепленным с контуром.

Рассмотрим, чему будет равна циркуляция магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру, не охватывающему ток (см. рис.5.12).

В этом случае весь контур Lразбивается на две частиL₁иL₂. На части контураL₁угол между векторамииострый (), а на части контураL₂угол между векторамиитупой (). Тогда

Итак, если ток не сцеплен с контуром, то циркуляция магнитной индукции по такому контуру равна нулю.

Если магнитное поле создается системой токов, то применим принцип суперпозиции магнитных полей. При этом необходимо учитывать правило знаков. Знак силы тока определяется относительно произвольно выбранного направления обхода контура при интегрировании. Если направление тока и направление обхода контура соответствуют правилу правого винта, то сила тока берется со знаком плюс, в противном случае – со знаком минус. Если получено положительное значение циркуляции магнитной индукции, это означает, угол между направлениями магнитной индукции и элемента контура dlявляется острым. Рисунок 5.13 и выражение 5.20 иллюстрируют правило знаков.

Таким образом, циркуляция магнитной индукции вдоль произвольного замкнутого контура прямо пропорциональна алгебраической сумме токов, сцепленных с этим контуром.

Выражение (5.21) называют также законом полного токадля магнитного поля.

Поскольку циркуляция магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру в общем случае отлична от нуля, то магнитное поле не является потенциальным. Оно относится к вихревым физическим полям. Вихревой характер поля означает, что его линии индукции замкнуты сами на себя, а неподвижные “магнитные заряды”, создающие такое поле, в природе отсутствуют.

Рассмотрим применение закона полного тока для определения магнитной индукции различных полей. Оно особенно удобно для расчета магнитных полей симметричных систем токов. В этом случае можно так выбрать контур интегрирования, что циркуляция магнитной индукции поля вдоль него легко выражается через искомое значение модуля вектора . Решение задачи о нахождении индукции поля в какой-либо точке пространства должно осуществляться следующим образом:

1. Исходя из симметрии распределения заданной системы токов в пространстве, необходимо построить линии магнитной индукции поля, т.е. определить направление вектора в любой точке пространства.

2. Выбрать “удобный” замкнутый контур интегрирования, отвечающий следующим требованиям:

• а) он должен проходить через исследуемую точку;

• б) длина контура должна быть известна;

• в) модуль индукции поля должен быть постоянен в точках всего контура или хотя бы его части;

• г) угол между и касательной к контуру должен быть равен нулю или/2.

3. Определить циркуляцию магнитной индукции по выбранному замкнутому контуру.

,

где B_i– постоянный модуль магнитной индукции во всех точках части контураL_i.

4. Определить алгебраическую сумму токов, сцепленных с контуром L.

5. Применить теорему, т.е. приравнять результаты, полученные в пп.3 и 4 с учетом коэффициента пропорциональности.

Пример. Определим магнитную индукцию полядлинного соленоида. Таким термином называется катушка, образованная одинаковыми плотно прилегающими друг к другу витками (рис.5.14), причем длина катушки существенно больше ее диаметра.

Выберем контур интегрирования L (см. рис. 5.15), состоящий из четырех участков. Первый участок длинойl₁проведем вдоль оси соленоида. Вблизи оси соленоида магнитное поле можно считать однородным. Здесь линии магнитной индукции параллельны оси, а модуль индукции не изменяется.

Участки контура l₂иl₄проведем так, чтобы они были перпендикулярны линиям магнитной индукции. Замкнем контур участкомl₃ настолько далеко от оси соленоида, чтобы магнитную индукцию в точках этого участка контура можно было бы принять равной нулю. При таком выборе контура циркуляция магнитной индукции будет отлична от нуля только на участкеl₁:

Алгебраическая сумма токов, сцепленных с контуром L, определится числом витков соленоида, расположенных на длине отрезкаl₁:

где n– число витков соленоида, приходящееся на единицу его длины. Применим закон полного тока, приравняв выражения (5.22) и (5.23) с учетом коэффициента:

Тогда модуль магнитной индукции в центре бесконечно длинного соленоида (на его оси) выражается так:

Модуль магнитной индукции в центре основания длинного соленоида (на его оси) можно найти из следующих соображений. Поскольку любой длинный соленоид можно представить в виде последовательно соединенных двух соленоидов (рис. 5.16), то

Тогда