10.2. Плоская электромагнитная волна
Среди точек пространства, до которых дошло волновое возмущение, всегда найдутся такие точки, колебания в которых совпадают по фазе. Геометрическое место точек, колебательный процесс в которых происходит в одной фазе, образует волновую поверхность. По виду этой поверхности волны разделяют на плоские волны, сферические волны и т.д. Среди всех волновых поверхностей всегда существует самая внешняя (самая дальняя от источника волны), т.е. волновая поверхность, за которую волновое возмущение еще не распространилось. Эта волновая поверхность называетсяфронтом волны.
Рассмотрим плоскуюэлектромагнитную волну, распространяющуюся вдоль осиOX. Такая волна будет содержать только компоненты векторов напряженностей электрического и магнитного поля, расположенные в плоскостиZOY, перпендикулярной направлению распространения волны. В плоскости фронта волны (она параллельна плоскостиZOY) значения напряженностей полей не зависят от координатyиz, поэтому среди производных по координатам должны остаться только те производные, которые описывают изменение напряженностей полей вдоль осиOX. Таким образом, от волновых уравнений
останутся две пары скалярных уравнений:
Отсюда следует, что возможно существование двух типов электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси OX (рис. 10.4). Один тип волны содержит компонентыEy иHz, а другой –EzиHy.
Рассмотрим подробнее первый тип волны, содержащий проекции Ey иHz.. Простейшими решениями волновых уравнений, содержащих эти проекции, будут:
В этом можно убедиться, подставив приведенные решения в волновые уравнения. Можно также строго доказать, что колебания электрического и магнитного полей в электромагнитной волне происходят в одной и той же фазе, а амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей связаны соотношением
В уравнениях волны vэто фазовая скорость – скорость распространения фронта волны. В точку пространства с координатойxволновое возбуждение приходит с запаздыванием на времяtз= x/v. Приведем график электромагнитной волны (рис. 10.5). Графиком волны является зависимость напряженностей электрического и магнитного поля от координат в данный момент времени. То есть это как бы мгновенная фотография волны.
Колебания векторов напряженностей электрического и магнитного полей в электромагнитной волне происходят в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, т.е. в плоскости, перпендикулярной вектору скорости волны. Следовательно, электромагнитная волна является поперечной.
Вернемся к уравнениям волны и преобразуем их на примере уравнения (10.6):
Отношение циклической частоты к фазовой скорости есть волновое числоk:
Используя волновое число, уравнение волны запишем так:
И, наконец, введем понятие волнового вектора (см. рис. 10.6)
Если
–
радиус-вектор, проведенный от фронта
волны к некоторой точке пространства
под угломк единичному
вектору
,
направленному по нормали к фронту волны,
то произведение волнового числаkна координатуx можно представить
как скалярное произведение векторов
:
где
–
волновой вектор.
Теперь уравнения (10.6) и (10.7) можно переписать в виде:
Проанализируем выражение для скорости электромагнитной волны:
Поскольку и– безразмерные величины, то размерность скорости волны определится так: [v] = [00]–1/2. Ранее были установлены размерности0и0: [0] =Кл2м–2А–2и [0] =НА–2. Если учесть, что [Кл] = [А/с], то после преобразований получаем: [v] =м/с.
Вычисление значения скорости электромагнитной волны в вакууме (= 1;= 1) дает:
м/с.
Полученное выражение совпадает с экспериментально измеренной скоростью распространения света в вакууме. Скорость света в вакууме обозначается буквой cи определяется она выражением
