1.3. Суперпозиция электростатических полей

При рассмотрении электростатического поля произвольной системы неподвижных точечных зарядов было экспериментально показано, что результирующая сила, действующая на пробный зарядqв любой точке поля, равна геометрической сумме сил, действующих на зарядq со стороны каждого из зарядовв отдельности:

Из (1.8) легко получить, что

Последнее соотношение выражает принцип суперпозиции электрических полей (принцип независимости действия электрических полей):напряженность электрического поля, созданного системой зарядов в любой точке пространства, равна векторной сумме напряженности полей, созданных каждым зарядом в отдельности в этой точке.

Рассмотрим применение этого принципа для расчета напряженности поля системы дискретно и непрерывно распределенных зарядов.

Пример 1. Дляэлектрического диполя(рис.1.7,а) введем понятие вектораэлектрического дипольного момента:, где–плечо диполя. Для расчета модуля напряженности поля в любой точкеАна оси диполя (рис.1.7,б) выполним следующие действия:

;.

При условии последнее равенство приводится к виду

Поскольку в рассматриваемом примере , то. Поэтому

При расчете напряженности поля в точках, лежащих на срединном перпендикуляре к оси диполя (рис.1.8), геометрическое сложение векторов ипри том же условиидает другой результат:

Однако , т.к..

Рассмотренный пример показывает, что в разных точках пространства суперпозиция векторов может быть различной, даже если одинаковы модули складываемых векторов.

Пример 2. Определим напряженность поля, созданного электрическим зарядомQ, непрерывно распределенным по однородному проволочному кольцу радиусомR, в точкеАна оси кольца, удаленной на расстояниеzот него (рис.1.9).

Разобьем кольцо на элементы длиной dl. Тогда на каждом элементе кольца будет находиться элементарный заряд

Такой электрический заряд создает в точке Аэлектрическое поле напряженностью, причем

.

Вектор показан на рисунке. Поскольку, из условия симметрии очевидно, что,

Окончательно получаем

.

1.4. Работа сил электростатического поля.Разность потенциалов. Потенциал

Силы электростатического взаимодействия являются центральными, а потому консервативными (см. часть I, п. 3.2). Следовательно, электростатическое поле является потенциальным. Определим работу сил электростатического поля, созданного зарядом , по перемещению точечного зарядаиз точки1в точку2(рис.1.10).

Элементарная работа поля по перемещению заряда на расстояние равна

Тогда

Если заряды одноименны, то поле совершает положительную работу при их удалении друг от друга и отрицательную работу при их сближении.

Из (1.10) видно, что работа сил электростатического поля по перемещению заряда не зависит от формы траектории движения заряда, а определяется только положением начальной и конечной точек траектории. Итак, кулоновские силы консервативны, поэтому циркуляция напряженности электростатического поля по произвольному замкнутому контуру равна нулю:

Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы электростатическое поле было потенциальным. Тогда справедлива связь работы консервативной силы и изменения потенциальной энергии – работа сил электростатического поля равна убыли потенциальной энергии:

Рассмотрим отношение работы поля по перемещению пробного заряда из одной точки пространства в другую к величине переносимого заряда:

Поскольку полученное отношение не зависит от переносимого заряда и траектории его перемещения, то данная величина может быть принята в качестве характеристики электростатического поля. Разностью потенциаловмежду двумя точками электростатического поля называется отношение работы сил поля по перемещению пробного электрического заряда из одной точки в другую к величине этого заряда:

С учетом (1.12) получаем

Используя понятие разности потенциалов можно записать выражение для работы сил электростатического поля по перемещению заряда следующим образом:

Введем теперь понятие потенциаладанной точки электростатического поля. Из (1.13) можно получить:

Потенциалом электростатического поля называется энергетическая характеристика поля, численно равная отношению потенциальной энергии пробного электрического заряда, помещенного в данную точку поля, к величине заряда.

Ранее мы отмечали, что потенциальная энергия – физическая величина, которая определена с точностью до некоторого произвольного значения. Следовательно, потенциал электрического поля также определен с точностью до произвольного значения, поэтому в любой точке пространства можно принять его значение равным нулю. Если значение потенциальной энергии и, соответственно, потенциала в точке 2 принять равными нулю, то потенциал точки 1 согласно (1.14) определится так

Таким образом, потенциал любой точки электростатического поля численно равен удельной работе (работе, отнесенной к величине заряда), совершаемой силами поля при перемещении пробного заряда из этой точки в ту точку, в которой потенциал поля условно принят равным нулю. Выбор точки с нулевым потенциалом произволен и определяется удобством решения каждой конкретной задачи. Рассмотрим это на некоторых примерах.

Пример 1.Определим потенциал произвольной точки пространства, удаленной на расстояниеrот точечного зарядаQ(рис. 1.11).

Выберем точку, потенциал которой примем равным нулю. Пусть это будет точка, бесконечно удаленная от заряда Q. Поскольку работа по переносу пробного заряда из данной точки в бесконечность не зависит от формы траектории движения, то рассмотрим такое движение пробного заряда, при котором(т.е. вдоль прямой, совпадающей с осьюOr).

Тогда при условии ()=0 получаем зависимость потенциала поля точечного заряда от расстояния

На рис. 1.12 показан график функции (r).

Пример 2.Рассмотрим электростатическое поле, создаваемое системой точечных зарядов. Тогда потенциал произвольной точки пространства можно определить как; (при этом). Здесь– вектор напряженности поля, найденный по принципу суперпозиции (1.9):

Таким образом, потенциал поля системы точечных зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей, созданных каждым зарядом в отдельности. В этом состоитпринцип суперпозиции потенциалаэлектростатического поля.

При рассмотрении поля, созданного непрерывно распределенным зарядом, необходимо выполнить следующую последовательность действий:

• 1. Выделить в объекте элемент заряда , который в условиях данной задачи можно считать точечным.

• 2. Выразить потенциал поля этого заряда в рассматриваемой точке.

• 3. Определить потенциал в заданной точке пространства методом суперпозиции:

или.