9.5. Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме
Запишем систему уравнений Максвелла в дифференциальном виде:
Дополним дифференциальные уравнения граничными условиями:
Граничные условия справедливы как для стационарных, так и для переменных электрических и магнитных полей.
Системы (9.14) недостаточно для описания полей, даже при наличии заданного распределения зарядов и токов проводимости, так как в систему уравнений не введены свойства среды, в которой рассматриваются поля. Учтем свойства среды, дополнив систему еще тремя уравнениями, которые верны для слабых полей и для медленно меняющихся во времени и в пространстве полей:
Рассмотрев систему уравнений Максвелла, можно сделать такой вывод: переменное электрическое поле возбуждает вихревое магнитное (первое уравнение), переменное магнитное возбуждает вихревое электрическое (второе уравнение), и т.д. Таким образом, если возбудить с помощью колеблющихся зарядов переменное электрическое поле, то в окружающем заряды пространстве возникают взаимные превращения электрического и магнитного полей. Эта совокупность последовательно сменяющих друг друга в пространстве электрического и магнитного полей называется электромагнитным полем.
10. Электромагнитные волны
В предыдущей главе мы выяснили, что переменное электрическое поле порождает магнитное, которое в общем случае тоже оказывается переменным. Это переменное магнитное поле порождает электрическое поле. Таким образом, если возбудить с помощью зарядов переменное электрическое или магнитное поле, в окружающем пространстве возникнет последовательность взаимных превращений электрического и магнитного полей, распространяющихся от точки к точке. Распространение электромагнитных колебаний в пространстве называется электромагнитной волной.
Вывод о существовании электромагнитных волн вытекает из уравнений Максвелла. Из системы уравнений Максвелла мы получим дифференциальные уравнения, в левой и правой части которых содержатся производные по времени и координатам только напряженности электрического или магнитного поля. Эти уравнения называются волновыми уравнениями– их решениями являютсяуравнения электромагнитной волны. На основе анализа этих уравнений сформулируем свойства электромагнитных волн. Рассмотрим вопросы переноса энергии электромагнитной волной и особенности излучения электромагнитных волн электрическим диполем.
10.1. Волновое уравнение
Как мы уже говорили, из уравнений Максвелла вытекает возможность существования электромагнитных волн, то есть распространения электромагнитных колебаний в пространстве. Рассмотрим случай однородной нейтральной (= 0) непроводящей (j = 0) среды. Тогда
,
Переменное электрическое поле (ток смещения) создает в “следующем” элементе пространства переменное магнитное поле; то, в свою очередь, создает новое электрическое поле, а оно точно также создает еще дальше поле электрическое (рис. 10.3). И так будет продолжаться до бесконечности. Другими словами, электромагнитное поле распространяется в виде волны, причем волны незатухающей – энергия электрического поля в пустоте полностью переходит в энергию магнитного поля, и наоборот.
Чтобы получить математические уравнения, описывающие волновой процесс, необходимо, чтобы в уравнение 10.1 входила напряженность только магнитного поля, а в уравнение 10.2 – напряженность только электрического поля. Преобразуем уравнение 10.2. Воздействуем на левую и правую части этого уравнения оператором rot.
Для левой части, учитывая что
,
получаем:
Для правой части получаем:
Приравнивая преобразованные левую и правую части, получаем дифференциальное уравнение, в котором содержатся только производные по координатам и времени от напряженности электрического поля:
Обозначим
и окончательно запишем
Аналогично из уравнения (10.1) получаем:
Дифференциальные уравнения (10.4) и (10.5) называются волновыми уравнениями. Их решениями являются уравнения электромагнитной волны, которые описывают зависимость напряженностей электрического и магнитного полей от времени и координат. Такая волна переносит из одной точки пространства в другие колебания напряженностей электрического и магнитного полей. Скорость распространения волны в пространстве определяется выражением (10.3).