1.7. Примеры использования теоремы Остроградского–Гаусса

Применение теоремы Остроградского–Гаусса (1.26) для расчета электростатических полей возможно только в случаях симметричных систем зарядов. В этих случаях можно выбрать такую гауссову поверхность, для которой поток вектора напряженности поля через нее легко выражается через искомое значение модуля вектора . Решение задачи о нахождении напряженности электростатического поля в какой-либо точке пространства должно осуществляться следующим образом:

Шаг 1. Исходя из симметрии распределения заданной системы зарядов в пространстве, необходимо построить силовые линии поля, т.е. определить направление векторав любой точке пространства.

Шаг 2. Выбрать замкнутую гауссову поверхность, отвечающую следующим требованиям:

• а) она должна проходить через точку, в которой необходимо определить напряженность;

• б)модуль вектора напряженности поля должен быть постоянен в любой точке поверхности (или хотя бы на той части поверхности, к которой принадлежит выбранная точка);

• в)угол междуи внешней нормалью к поверхности должен быть постоянен: равен нулю или/2(последнее – на той части поверхности, где напряженность зависит от координат). Обычно в качестве гауссовой поверхности выбирают (в зависимости от типа симметрии) поверхность сферы, цилиндра или прямоугольного параллелепипеда.

Шаг 3. Определить значение потока вектора напряженности поля через выбранную поверхность, т.е. проинтегрировать элементарный потокпо всей замкнутой поверхности (если поверхность не является гладкой, следует разбить интеграл на сумму интегралов):

.

Если на каждой части замкнутой поверхности выполнено условие (б), т.е. E_i = const, напряженностьможно вынести из под знаков интегралов:

Здесь – модуль вектора напряженности поля в точках поверхности.

Если на каждой части замкнутой поверхности выполнено условие (в), т.е. угол между векторамииравен нулю, то интегрирование приводит к результату:

.

Однако обычно замкнутую поверхность выбирают таким образом, чтобы условия (б)и (в) одновременно выполнялись только на той части замкнутой поверхности, где хотят определить напряженность, а остальные части замкнутой поверхности выбирают так, чтобы поток вектора напряженности через них был равен нулю (илиE_i = 0, или угол между векторамииравен/2). Пусть условия (б)и (в)одновременно выполняются только на части поверхностиS₁, тогда

.

Шаг 4. Определить алгебраическую сумму зарядов, охваченных поверхностьюS. В зависимости от распределения зарядов возможны варианты:

Шаг 5. Приравнять результаты, полученные на3и4шагах с учетом коэффициента пропорциональности, получить формулу для напряженности электрического поля:

.

Пример 1. Определим напряженность электростатического поля во всех точках пространства, если электрический зарядQ > 0равномерно распределен в пространстве в виде шара радиусомR.

Шаг 1. Исходя из условий симметрии зарядов, изобразим графически их электрическое поле. Поскольку данное распределение заряда обладает сферической симметрией, силовые линии поля будут исходить из центра шара по радиальным направлениям (на рис. 1.19 показаны некоторые силовые линии).

Кроме того, исходя из симметричности системы, можно утверждать, что модуль напряженности поля во всех точках, равноудаленных от центра шара, должен быть одинаковым: такие точки, например, АиВ, находятся на одинаковом расстоянии от центра симметрии системы. Следовательно,направление и модульвекторабудут зависетьтолько от радиальной координатыисследуемой точки пространства. Для задания такой координатыrвыберем произвольную радиальную осьOr, выходящую из центра шара.

Шаг 2. Определим напряженность поля в произвольной точкеC, находящейся внутри шара на расстоянииrот его центра. Для этого в качестве гауссовой поверхностивыберем сферическую поверхностьрадиусомr, центр которой совпадает с центром заряженного шара (рис.1.20).

Исходя из симметрии системы, очевидно, что модуль вектора напряженности поля не зависит от координат() во всех точках поверхности, а угол междуи внешней нормалью к поверхности во всех точках равеннулю.

Шаг 3.Определим потоквекторачерез гауссову поверхность:

Шаг 4.Определим алгебраическую сумму зарядов, охваченных поверхностьюS. В данном случае электрический заряд, охваченный гауссовой поверхностью – эточастьвсего заряда. Определимэту частьзаряда через объемную плотность заряда и объем, ограниченный гауссовой поверхностью:

Шаг 5. Применим теорему Остроградского–Гаусса, приравняв (1.27) и (1.28) с учетом коэффициента₀:

Отсюда получаем, что при

Применим эту процедуру для определения напряженности поля вне шарового скопления заряда.Выберемгауссову поверхность в виде сферы радиусом, проходящей через произвольную точкуD,находящуюся вне зарядов (рис.1.21):

Выражение для потока вектора через гауссову поверхность сохранит прежний вид (1.27).Заряд, охваченный поверхностью, представляет собой полный заряд шара:Q_охв=Q. Согласно теореме Остроградского–Гаусса получим, что приr > Rимеет место соотношение

Отсюда

Окончательный вид зависимости модуля напряженности от координаты rможно представить так:

При построении графической зависимости (рис.1.22)

обратим внимание на то, что выражения (1.29) и (1.30) дают одинаковые значения модуля напряженности поля при r = R:

Пример 2. Определим напряженность электростатического поля во всех точках пространства, если электрический заряд равномерно распределен с поверхностной плотностью> 0 по поверхности весьма длинного цилиндра с радиусом основанияR.

Шаг 1. Определим из условий симметрии и изобразим графически линии напряженности электрического поля. Поскольку данное распределение заряда обладает осевой симметрией, силовые линии поля (если поле существует) будут исходить из точек оси цилиндра по радиальным направлениям (на рис. 1.23 показаны некоторые силовые линии).

Вследствие осевой симметричности системы, модуль напряженности поля во всех точках, равноудаленных от оси системы, должен быть одинаковым: такие точки, например точки АиВ, находятся на одинаковом расстоянии от оси симметрии системы.

Следовательно, направление имодульвекторабудут зависеть только от радиальной координаты исследуемой точки пространства. Для задания такой координатыrвыберем произвольную радиальную ось, направленную перпендикулярно оси цилиндра.

Шаг 2. Определим напряженность поля в произвольной точкеC, находящейся вне цилиндра и имеющей координатуr > R. Для этого выберем замкнутую поверхностьSв виде поверхности цилиндра высотойНи радиусомr, ось которого совпадает с осью заряженного цилиндра (рис.1.24).

Модуль напряженности поля постояненво всех точках боковой поверхности цилиндра, вследствие симметрии системы. Угол междуи внешней нормалью к поверхности во всех точках боковой поверхности цилиндраравен нулю, а во всех точках верхнего и нижнего оснований гауссова цилиндра равен.

Шаг 3.Определим потоквектора напряженности через замкнутую поверхностьS.

где – площадь верхнего основания цилиндра поверхностиS;– площадь нижнего основания цилиндра;– площадь боковой поверхности цилиндра;– векторы соответствующих элементарных площадок. Учитывая соображения, изложенные при осуществлении шага2, получаем:

Таким образом,

Шаг 4.Определим алгебраическуюсумму зарядов, охваченных поверхностью гауссова цилиндра. В данном случае электрический заряд, попавший внутрь гауссова цилиндра – это часть полного заряда цилиндра. Эту часть можно найти, умножив площадь боковой поверхности заряженного цилиндра, попавшую внутрь гауссовой поверхности, на поверхностную плотность заряда:

Шаг 5. Приравняем (1.31) и (1.32) с учетом коэффициента:

Отсюда следует

Повторимвсе действия для определения напряженности полявнутризаряженного цилиндра. В этом случае выберем гауссову поверхность в виде цилиндрической поверхности, боковая поверхность, которой проходит через произвольную точкуD, находящуюся на расстоянии(рис.1.25).

Выражение для потока через гауссову поверхность сохранит прежний вид (1.31). Но в этом случае внутрь гауссовой поверхности не попадают заряды, поэтому

откуда следует

Окончательный вид зависимости модуля напряженности от радиальной координаты можно представить следующим образом:

График полученной зависимости изображен на рис. 1.26.

Видно, что при значении r = Rграфик имеет разрыв. Отсюда можно сделать вывод, чтовектор напряженности электрического поля на поверхностных зарядах меняется скачком. Скачок вектора напряженности в этом случае равен

.