9.3. Система уравнений Максвелла в интегральной форме

Рассмотрение Максвеллом токов смещения замкнуло теорию электрических и магнитных явлений. Оказалось, что переменное во времени вихревое магнитное поле создает в пространстве вихревое электрическое поле, а переменное во времени вихревое электрическое поле создает в пространстве вихревое магнитное поле. Такая совокупность взаимосвязанных электрических и магнитных полей называется электромагнитным полем. Оно описывается системой фундаментальных уравнений Максвелла для неподвижных сред. Добавим к (9.1) и (9.4) теоремы Остроградского–Гаусса для электрического и магнитного полей (соотношения (2.15) и (5.20)) и запишем систему уравнений Максвелла для электромагнитного поля в интегральной форме:

Напомним, что физический смысл двух последних уравнений системы (8.5) заключается в следующем: источниками потенциального электрического поля являются неподвижные электрические заряды, а неподвижных источников вихревого магнитного поля (“магнитных зарядов”) не существует.

В систему (9.5) входят произвольные поверхности, выбираемые в пространстве. Физические величины, входящие в уравнения, в различных точках этих поверхностей могут принимать разные значения. Ранее мы указывали, что аналитическое решение интегральных уравнений возможно лишь в определенных случаях, когда поля и поверхности удовлетворяют целому ряду требований. Для нахождения напряженностей и индукций электрических и магнитных полей в произвольных точках пространства в произвольном случае необходимо применять уравнения Максвелла, записанные в дифференциальной форме.

9.4. Дивергенция и ротор векторного поля

Для описания свойств векторных полей широко используются понятия дивергенции и ротора. Ранее нами было получено выражение для теоремы Остроградского–Гаусса для электростатического поля в дифференциальной форме:

Дивергенция поля характеризует плотность источников данного поля. Согласно теореме Остроградского–Гаусса в интегральной форме

Таким образом,

Следовательно, поток векторного поля через произвольную замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции этого поля по объему, ограниченному поверхностью.В этом заключается математический смысл теоремы Остроградского, сформулированной им для любого векторного поля.

Если учесть, что

то отсюда будет следовать

Мы получили запись третьего и четвертого уравнений Максвелла в дифференциальной форме.

Чтобы записать в дифференциальной форме первое и второе уравнения Максвелла, введем понятие ротора векторного поля. Для произвольного вихревого поля, определяемого в каждой точке вектором, ротором (вихрем) поля называется вектор, равный максимальному значению предела отношения циркуляции поля по произвольному замкнутому контуру к площади поверхности, ограниченной контуром, при стремлении последней к нулю (рис. 9.4).

При этом ротор направлен в сторону единичной нормали к этой поверхности, выбранной в соответствии с направлением вектора по правилу правого винта. Математически это записывается так:

Поскольку значение выражения в скобках зависит от ориентации контура, выбираемого в пространстве, ротор поля по своему физическому смыслу определяет ориентацию вектора в пространстве. Вспомним, что для потенциального электростатического поля справедливо

Отсюда получаем

Отличие ротора векторного поля от нуля указывает на вихревой характер поля, т.е. на замкнутость его силовых линий.

Рассмотрим второе уравнение Максвелла из системы (9.5):

Если подставить это выражение в определение ротора (9.8), то получаем

Выражение (9.9) представляет собой второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме. Умножим обе части этого соотношения скалярно на :

Теперь проинтегрируем это уравнение по площади S:

Согласно второму уравнению Максвелла, правая часть полученного выражения равна циркуляции напряженности магнитного поля по контуру, ограничивающему площадку, поэтому

Получившееся уравнение справедливо для любого вихревого векторного поля. Это было доказано английским математиком и физиком Дж. Г. Стоксом в 1854 г.:циркуляция вихревого поля по произвольному замкнутому контуру равна потоку ротора поля через поверхность, ограниченную контуром (теорема Стокса).

Вернемся к первому уравнению из системы (9.5), согласно которому

Используя теорему Стокса получаем, что левая часть этого уравнения равна

Отсюда получаем:

Это первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме.

В дифференциальной форме записи системы уравнений Максвелла используются понятия дивергенции и ротора векторного поля. Напомним, что

Получим теперь выражения для расчета ротора векторного поля .

Поскольку, согласно (9.8), ротор – векторная величина, то для его нахождения определим компоненты разложения этого вектора в некоторой системе координат:

Каждое из этих слагаемых – вектор, направленный по соответствующей координатной оси. Так как ротор направлен по нормали к площадке, то это означает, что соответствующие площадки для определения компонент ротора должны быть сориентированы перпендикулярно координатным осям (рис. 9.5). Важно помнить, что площадки, изображенные на рис. 9.5, проходят через одну точку пространства, в которой и ищется ротор поля.

Определим первую компоненту ротора из (9.11). Для этого необходимо рассмотреть ту площадку из трех, изображенных на рис. 9.5, которая перпендикулярна оси ОX. Эта площадка расположена в плоскостиZOY(рис. 9.6).

Поскольку вектор на этом рисунке направлен “на нас”, то направление обхода контура, ограничивающего площадку, должно быть выбрано против часовой стрелки. Тогда циркуляция векторапо выбранному контуру определится так:

где каждое из слагаемых представляет циркуляцию вектора по соответствующему элементу контура (они обозначены на рис. 9.6) цифрами. Преобразуем полученное соотношение:

Для получения соответствующей компоненты ротора, согласно (9.8), необходимо поделить это выражение на площадь площадки, т.е. на произведение dzdy:

Аналогично можно получить

В окончательном виде запишем

Соотношение (9.12) можно записать компактнее, используя понятие определителя матрицы: