8.3. Вынужденные колебания в последовательном колебательном контуре

Чтобы вызвать вынужденные колебания, нужно оказывать на систему внешнее периодически изменяющееся воздействие. В случае электрических колебаний это можно осуществить, если включить последовательно с элементами контура переменную ЭДС (рис. 8.6), изменяющуюся во времени по гармоническому закону с частотой :

Получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний, для чего запишем закон Ома для участка цепи 2–L–1:

iR=₂ – ₁  + E_s + E,

где iR– падение напряжения на резисторе контура;₂–₁ – разность потенциалов между точками2и1;E_s– ЭДС самоиндукции катушки индуктивности; E– вынуждающая электродвижущая сила (в дальнейшем можно обозначитьU), причем

После подстановки и преобразований получаем:

Если обозначить

то уравнение (8.20) приводится к виду:

Это дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

Как было показано в первой части курса, решением такого уравнения является функция вида

В этом соотношении первое слагаемое играет роль только на начальной стадии (при малых значениях t) установления процесса колебаний. В дальнейшем этой составляющей решения можно пренебречь. Второе слагаемое (8.22) описывает установившиеся вынужденные колебания. Подставим для установившихся вынужденных колебанийв уравнение (8.21). Для этого найдем производныеq(t)по времени:

После подстановки в (8.22) получаем:

Напомним, что первое слагаемое представляет собой первую производную по времени от силы тока в контуре, второе слагаемое – сила тока, третье слагаемое – заряд на конденсаторе. Используя метод векторных диаграмм, представим левую часть последнего уравнения в виде суммы трех векторов (рис.8.7), модули которых указаны на рисунке. Ось токов направим горизонтально вправо, и относительно нее отложим два других вектора с учетом их фаз. Результатом сложения этих трех векторов будет вектор, модуль которого равен E_m/L.

Из векторной диаграммы на рис. 8.7 следует, что

Используя теорему Пифагора, найдем амплитуду вынужденных колебаний:

Выразим амплитуду напряжения на конденсаторе Uc_mпри вынужденных колебаниях:

Дифференцируя выражение (8.24) по переменной , и приравнивая полученную производную к нулю, можно определитьрезонансную частотувнешнего воздействия = _р, при которой амплитуда колебаний заряда или напряжения на конденсаторе достигает максимума:

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при определенной частоте внешнего воздействия называется резонансом. График зависимости амплитуды напряжения на конденсаторе от частоты вынуждающей ЭДС при различных коэффициентах затухания контура приведен на рис. 8.8. При неограниченном возрастании частоты внешнего воздействия(   ) амплитуда колебаний стремится к нулю.

При частоте вынуждающей ЭДС, близкой к частоте собственных гармонических колебаний ₀, из (8.24) можно получить:

что совпадает с (8.19). Таким образом, добротность контура показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе при резонансе больше амплитуды вынуждающей ЭДС.

Наконец, получим закон колебаний силы тока в цепи и исследуем его. Ранее было получено

откуда следует, что колебания силы тока в цепи опережают по фазе на колебания напряжения на конденсаторе.

Амплитуда колебаний силы тока равна

Подставив в (8.25) частоту собственных колебаний и коэффициент затухания, выраженные через параметры контура R,CиL, получаем:

Величина Zназываетсяполным сопротивлениемпоследовательного контура переменному току. Соответственно,емкостное сопротивление

и индуктивное сопротивление

образуют реактивноесопротивление контура. Сопротивление резистораRназываетсяактивным сопротивлениемконтура. Такая терминология показывает, что необратимое выделение тепла, т.е. энергетические потери контура, происходит только в резисторе. Смысл реактивного сопротивления заключается в том, что оно просто ограничивает силу тока в цепи, но не влияет на тепловые потери.

Амплитуда колебаний силы тока в контуре также зависит от частоты вынуждающей ЭДС. В зависимости от величины активного сопротивления она принимает максимальные значения при одной и той же частоте – частоте собственных гармонических колебаний ₀(рис. 8.10).

При ₀реактивное сопротивление контура становится равным нулю, и полное сопротивление контура равно его активному сопротивлению.

Вернемся к векторной диаграмме и покажем на ней векторы амплитуд напряжений на элементах контура (рис. 8.11).

На диаграмме видно, что колебания силы тока в контуре отстают по фазе от колебаний вынуждающей ЭДС на угол  =  – /2, причем

На рис. 8.12 приведена зависимость фазового сдвига между эдс и силой тока от вынуждающей частоты.

При частоте вынуждающей ЭДС, меньшей частоты собственных колебаний, реактивное сопротивление контура имеет емкостной характер, при этом колебания силы тока опережают по фазе колебания вынуждающей ЭДС. При частоте вынуждающей ЭДС, большей частоты собственных колебаний, реактивное сопротивление контура имеет индуктивный характер, при этом колебания силы тока отстают по фазе от колебаний вынуждающей ЭДС. И, наконец, при частоте вынуждающей ЭДС, равной частоте собственных колебаний, сопротивление контура становится чисто активным. При этом сумма падений напряжений на конденсаторе и катушке индуктивности равна нулю. По этой причине явление резонанса в последовательном колебательном контуре называют резонансом напряжений.