1.5. Связь напряженности и потенциала.Градиент скалярного поля

Выясним физический смысл взаимосвязи напряженности (силовой характеристики электростатического поля) и потенциала (энергетической характеристики). Соотношение

позволяет по заданной зависимости напряженности поля от координат найти зависимость потенциала от координат и рассчитать потенциал поляв любой точке. При этом потенциал произвольной точки поля определяется напряженностью поля на всем пути от этой точки до точки, где значение потенциала условно принято за ноль. Данное соотношение носит названиеинтегральной связи напряженности и потенциала электростатического поля.

Из соотношения (1.14) следует, что . Левая часть равенства представляет собой скалярное произведение вектораи вектора. Отсюда следует. Поскольку приращение потенциала может быть выражено через его дифференциал

,

для проекций вектора получаем:

Последняя система уравнений позволяет записать, что

Таким образом,

Последнее равенство можно записать иначе, в операторной форме, обозначая

Отсюда следует

Выражения (1.18) или (1.19) определяют дифференциальную связьнапряженности и потенциала электростатического поля. Они позволяют по известной зависимости потенциала от координат определить зависимость напряженности поля от координат и найти напряженность поля в любой точке. Поскольку градиент скалярной функции – это вектор, направленный в сторону ее наибольшего возрастания, то из (1.19) следует, что вектор напряженности электрического поля направлен в сторону наиболее быстрого убывания потенциала. Поэтому и силовые линии поля направлены в сторону убывания потенциала.

Если известны значения потенциала в различных точках пространства, то через точки с одинаковыми значениями потенциала можно провести поверхности, которые называются эквипотенциальными. Графически представляя электростатическое поле на плоском листе бумаги, мы будем изображать сечения этих поверхностей в видеэквипотенциальных линий(эквипотенциалей). Докажем, что силовые линии перпендикулярны эквипотенциалям.

Разность потенциалов между двумя точками пространства (рис.1.13), согласно (1.14) равна

Если эти точки принадлежат одной эквипотенциали, то , а векторнаправлен вдоль эквипотенциали. Нулевое значение скалярного произведениявозможно лишь при.

Следовательно, соотношение (1.19) позволяет по заданному распределению потенциала поля в пространстве восстановить картину его силовых линий (рис.1.14).

1.6. Теорема Остроградского–Гаусса для электростатического поля в вакууме

Ранее мы ввели две физические величины, характеризующие электрическое поле, – напряженность и потенциал. Принцип суперпозиции(1.9) и (1.16) позволяет рассчитать эти величины для заданной системы зарядов в пространстве независимо друг от друга, а интегральная и дифференциальная связь между ним (1.17) и (1.18) дает возможность определить выражение одной из величин, зная выражение другой. Однако практическое вычисление интегралов (1.9) и (1.16) может быть весьма затруднительным. Рассмотрим иной метод определения напряженности электростатического поля.

Основная теорема электростатики была выведена в 1828 г. русским математиком М.В. Остроградским для произвольного векторного поля. Немецкий физик и математик К.Ф. Гаусс в 1839г. применил ее к расчету электростатических полей.

Для рассмотрения этой теоремы введем следующие понятия. Проведем в электрическом поле произвольную поверхность площадью S(рис.1.15).

Назовем элементарным потоком вектора напряженности электростатического полячерез малый участок (элемент) поверхностиdSвеличину

где – вектор площади элемента поверхности,– вектор единичной нормали к поверхности в месте расположения элемента. Справедливы соотношения:;. Малый элемент поверхностивыбирается таких размеров, чтобы в его пределах можно было считать поле однородным, а кривизну поверхности можно было бы не учитывать.

Поток вектора напряженности электростатического поля через всю поверхность Sнаходится как алгебраическая сумма потоков сквозь все малые участки этой поверхности:

При вычислениях по формуле (1.21) договоримся направлять все векторы в одну и ту же сторону по отношению к поверхностиS. Например, в случае замкнутой поверхностиS в дальнейшем будем считать векторывнешними нормалями, т.е. направленнымииз области, ограниченной этой поверхностью.

Из (1.21) видно, что Ф = 0, если во всех точках поверхностиS силовые линии поля перпендикулярны векторам, т.е. “скользят” по поверхности. С другой стороны, поток максимален, если поверхностьSрасположена перпендикулярно силовым линиям в каждой точке пространства. Таким образом,поток вектора напряженности через поверхность пропорционален числу силовых линий, пересекающих эту поверхность.

Вспомним понятие телесного угла. Это часть пространства, ограниченная радиусами, проведенными из одной точки (вершины угла) ко всем точкам замкнутой кривой (рис.1.16).

Мерой телесного угла является отношение площади элемента , вырезаемого конической поверхностью угла на сфере радиусаrс центром в вершине угла, к квадрату радиуса:

Единицей телесного угла в СИ служит угол, опирающийся на сферу радиусом 1 м и вырезающий на ней элемент площадью 1 м². Такой телесный угол равен 1 стерадиан (обозначается 1 ср). Поскольку площадь поверхности всей сферы равна, то телесный угол, опирающийся на всю сферу и охватывающий все пространство, равенср.

Рассмотрим точечный заряд Q, охваченный произвольной замкнутой поверхностью (рис.1.17).

Выделим на этой поверхности элемент площадью dS, “вырезанный” из нее телесным угломdс вершиной в заряде. Элементарный поток вектора напряженности поля точечного заряда через элементdS, согласно (1.20), в СИ равен

Полный поток вектора напряженности через замкнутую поверхность можно найти как

Кружок на значке интеграла означает, что интегрирование производится по замкнутой поверхности. Если произвольная замкнутая поверхность охватывает точечные заряды , то можно составить систему уравнений:

где – напряженность поля каждого из зарядов. Складывая уравнения приведенной выше системы, получаем:

Итак, если внутри замкнутой поверхности находятся электрические заряды, то поток вектора напряженности пропорционален алгебраической сумме этих зарядов.

Рассмотрим теперь точечный заряд Q > 0, расположенный вне произвольной замкнутой поверхности (рис.1.18).

В этом случае касательная коническая поверхность с вершиной в точке расположения заряда разбивает поверхность Sна две части:и. Полный поток напряженности через всю поверхностьSравен алгебраической сумме потоков через эти части:

.

Для всех элементов поверхности углы между векторамии внешними нормалями(при) – тупые; для всех элементов поверхности– острые. Следовательно,

Поскольку поверхности ивидны из точки расположения зарядаQпод одним и тем же телесным углом₀одним и тем же телесным углом , то, согласно (1.22),

.

Отсюда, с учетом (1.24), получаем

Обобщим выводы (1.22), (1.23), (1.25). Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме зарядов, охваченных этой поверхностью:

Полученное соотношение выражает теорему Остроградского–Гаусса для электростатического поля в вакууме. Замкнутую поверхностьS, фигурирующую в теореме, часто называютгауссовой поверхностью. Отметим, что коэффициент пропорциональности между потоком напряженности и суммой зарядов, охваченных этой поверхностью, определен выбором системы единиц физических величин. В СИ этот коэффициент равен(см. 1.2). В других системах единиц он принимает другие значения.