8.2. Затухающие колебания в колебательном контуре

В предыдущем параграфе мы рассмотрели процесс свободных гармонических (незатухающих) колебаний в контуре при отсутствии активного сопротивления. Проанализируем теперь колебательный процесс, происходящий в контуре при наличии омического сопротивления (рис. 8.4).

Примем положительным направление тока, при котором конденсатор заряжается. Запишем для участка цепи 2–L–1обобщенный закон Ома:

,

где

После подстановки и преобразований получаем:

Введем обозначения

Уравнение (8.10) принимает стандартный вид дифференциального уравнения затухающих колебаний:

Как было показано в первой части курса, решением такого уравнения является функция вида

где – частота затухающих колебаний. Если подставить это решение в (8.11), то можно определить частоту затухающих колебаний:

График затухающих колебаний заряда на обкладках конденсатора приведен на рис. 8.5.

Поскольку амплитуда колебаний заряда уменьшается с течением времени, затухающие колебания не являются гармоническими. Однако для них удобно ввести понятиеусловного периодаколебаний:

Рассмотрим характеристики затухающих колебаний. Первая из них, непосредственно входящая в закон изменения колеблющейся величины, это коэффициент затухания  . Если выразить отношение амплитуд колебаний в моменты времениt = t₀иt = t₀+ , то можно получить

Время , за которое амплитуда колебаний уменьшается вераз, называетсяпостоянной времени. Посколькуe^=e, то

Таким образом, коэффициент затухания обратно пропорционален времени, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

Для количественной характеристики быстроты убывания амплитуды затухающих колебаний вводится также понятие логарифмического декремента колебаний:

Если за время, равное NT, система совершитNколебаний, и их амплитуда уменьшится вераз, то. Таким образом,логарифмический декремент – безразмерная величина, обратная числу колебаний N, в течение которых амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

Затухающие колебания характеризуются величиной добротностиконтура. Ввести понятие добротности можно несколькими способами. Сейчас сделаем это так:. Чтобы выяснить смысл добротности, рассмотрим энергию электрического поля контура:

Первоначальный запас энергии в контуре – это максимальное значение W_э, т. е.

Тогда скорость убывания энергии контура определится как

Следовательно, за один период энергия контура уменьшится на величину

Отношение убыли энергии контура за период к первоначальному ее запасу составляет

Отсюда

Таким образом, добротность колебательного контура пропорциональна отношению энергии, запасенной в контуре, к ее убыли за один период.

Проанализируем решение уравнения затухающих колебаний. Из (8.13) видно, что при условии колебания в системе не возникают. Значение максимального сопротивление контура, при котором еще возможно возникновение колебаний, называется критическим сопротивлениемR_кр. Оно определяется из условия₀ =  :

Если же колебания возникли, то нетрудно увидеть, что их период будет больше периода незатухающих колебаний:

Если колебания заряда конденсатора осуществляются по закону (8.12), то колебания напряжения на обкладках конденсатора подчиняются зависимости

т.е. происходят синфазно с колебаниями заряда.

Закон колебаний силы тока в контуре найдем следующим образом:

Из (8.13) следует, что , поэтому при умножении (8.18) наравенство не нарушается:

Введем обозначения

тогда

Полученное соотношение показывает, что колебания тока опережают колебания заряда по фазе на . Причем, так как cos < 0,sin   > 0, то

Ранее мы обнаружили, что при незатухающих колебаниях разность фаз колебаний тока и заряда составляла /2. Теперь мы видим, что при наличии затухания в контуре сдвиг фаз увеличивается. Если затухание в контуре невелико, т.е., то. В этом случае логарифмический декремент будет равен

а добротность контура

т.е. добротность контура равна отношению волнового сопротивления контура к его активному сопротивлению.