8. Электрические колебания

Введение

Колебаниями называются немонотонные процессы (движения или изменения состояния), характеризующиеся неоднократным изменением знака первой производной колеблющейся величины. В зависимости от природы колебательного процесса и “механизма” его возбуждения различают:механические колебания(колебания маятников, струн, частей машин, мостов и других сооружений, давления воздуха при распространении в нем звука и т.п.);электрические колебания(колебания переменного электрического тока в цепи, колебания напряженности электрического и магнитного поля);электромеханические колебания(колебания мембраны телефона) и пр. Система, совершающая колебания, называетсяколебательной системой.

Независимо от природы колебаний и характера колебательной системы все колебательные процессы подчиняются одним и тем же закономерностям. Основные выводы, полученные нами при рассмотрении механических колебаний (см. гл. 5 первой части курса), справедливы и для электромагнитных колебательных процессов. Это касается дифференциальных уравнений колебаний, их решений, определения характеристик собственных, затухающихивынужденныхколебаний. Поэтому при анализе электромагнитных колебаний мы будем использовать выводы и соотношения, полученные ранее.

8.1. Собственные гармонические колебания в колебательном контуре

Примером электрической цепи, в которой могут происходить свободные электрические колебания, служит простейший колебательный контур (рис. 8.1), состоящий из конденсатора электроемкостью Си соединенной с ним последовательно катушки индуктивностьюL. При замыкании на катушку предварительно заряженного конденсатора в колебательном контуре возникают свободные незатухающие колебания заряда конденсатора и тока в катушке. Рассмотрим процесс возникновения колебаний подробнее.

На рис. 8.1, апоказано исходное состояние системы. Конденсатор заряжен максимальным зарядом, где– выходное напряжение источника, которым проводилась зарядка конденсатора. Между обкладками конденсатора в этом состоянии существует электрическое поле, энергия которого равна

Если конденсатор подключить к катушке, он начнет разряжаться, и в контуре возникнет электрический ток. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, но при этом будет возникать все увеличивающаяся энергия магнитного поля, обусловленного током через катушку. В момент, когда сила тока в цепи равна i, энергия магнитного поля составит

Поскольку активное сопротивление контура равно нулю, полная энергия системы, состоящая из энергий электрического и магнитного полей, не расходуется на нагревание проводов и остается постоянной. Поэтому в тот момент, когда конденсатор полностью разряжается, т.е. его заряд (а значит, и энергия электрического поля) обращается в нуль, энергия магнитного поля, а значит, и сила тока в цепи, достигают наибольшего значения (рис. 8.1, б):

Происходит это за счет возникновения в контуре ЭДС самоиндукции. При разрядке конденсатора сила тока в цепи изменяется. Возникающая самоиндукция препятствует изменению силы тока в цепи. В результате, когда конденсатор полностью разряжен, ЭДС самоиндукции создает ток в цепи в том же направлении. Поскольку направление тока – это условное направление движения положительных зарядов в цепи, в результате явления самоиндукции конденсатор перезаряжается, так что знаки зарядов обкладок противоположны знакам зарядов в исходном состоянии (рис. 8.1, в). При этом сила тока в цепи уменьшается, энергия электрического поля конденсатора растет. Когда заряд конденсатора достигает начального (максимального) значения

то энергия электрического поля снова достигает максимума:

Определим закон изменения заряда конденсатора во времени. Поскольку полная энергия контура остается неизменной во времени, то

т.е.

Подставим в это уравнение известные формулы

Учтем, что

Отсюда получаем:

Разделим последнее уравнение на L:

Введя обозначение

где ₀– частота собственных гармонических колебаний, получаем

Уравнение (8.3) называется дифференциальным уравнением собственных незатухающих колебаний зарядав колебательном контуре.

Решением уравнения (8.3) является функция:

где Q_m– амплитудное значение заряда конденсатора,– начальная фаза колебаний заряда.

Период собственных колебанийколебательного контура определяется так:

Соотношение (9.5) называетсяформулой Томсонав честь получившего его английского физика У. Томсона (во второй половине жизни он публиковал работы под именем Лорд Кельвин).

Пользуясь (9.4), выведем закон изменения силы тока в контуре. Для этого найдем производную заряда по времени:

Из сопоставления (8.4) и (8.6) видно, что колебания силы тока в контуре опережают колебания заряда по фазе на /2, а по времени – на четверть периода. Графики изменения заряда конденсатора и силы тока в колебательном контуре при = 0 представлены на рис. 8.2.

Чтобы получить зависимость напряжения на обкладках конденсатора от времени, достаточно воспользоваться определением емкости:

Напряжение на конденсаторе изменяется со временем в одной фазе с зарядом конденсатора. Соотношение между амплитудным значением напряжения на конденсаторе и амплитудным значением силы тока в цепи подобно закону Ома, поэтому отношение U_m/I_mназываетсяволновым сопротивлением контура:

Проанализируем изменение энергии, происходящее в контуре при свободных колебаниях. Следующие выражения показывают, как изменяется энергия электрического поля в конденсаторе и энергия магнитного поля в соленоиде во времени при нулевой начальной фазе колебаний:

Поскольку

получаем:

Графики колебаний заряда, энергии магнитного и электрического полей представлены на рис. 8.3.