3.2. Электроемкость.Конденсаторы

Найдем связь потенциала проводника с его электрическим зарядом. Рассмотрим проводник произвольной формы, бесконечно удаленный от других проводников. Если сообщить этому проводнику некоторый свободный заряд Q, то он распределится по поверхности. Плотность поверхностного зарядав каждой точке поверхности проводника будет пропорциональна зарядуQ, а зависимость поверхностной плотности заряда от координат определится функциейзависящей от формы проводника:

Каждая следующая порция заряда, привносимого на проводник, будет распределяться по поверхности точно также.

Вычислим потенциал произвольной точки Aзаряженного проводника (рис.3.5), пользуясь методом суперпозиции.

Выделим на поверхности проводника малый элемент dS, который несет зарядdQ= dS. Размеры элемента поверхностиdSдолжны быть настолько малы, чтобы зарядdQможно было бы считать точечным. Примем потенциал равным нулю на бесконечности и воспользуемся формулой потенциала точечного заряда:

или

Учитывая (3.3) получаем:

Вид функции , конечно же, зависит от выбора точки начала отсчета (точкаА), однако, поскольку потенциалы всех точек проводника равны, значение интеграла в (3.4) должно быть константой. Введем обозначение:

где C– константа, зависящая от формы и размеров проводника.

Теперь потенциал проводника запишем так:

Таким образом, потенциал уединенного проводника пропорционален его заряду и обратно пропорционален константе C, определяемой геометрией проводника.

Физический смысл константы C, называемойэлектроемкостью, определим из (3.5):

Электроемкостью уединенного проводниканазывается физическая величина, численно равная отношению заряда проводника к его потенциалу в поле этого заряда:

• Электроемкость проводника показывает, какой заряд необходимо сообщить проводнику для того, чтобы его потенциал принял заданное значение. Чем больше заряд проводника, тем больше его потенциал в поле этого заряда.

• Электроемкость не зависит ни от величины заряда проводника, ни от значения его потенциала, а зависит только от размера и формы проводника, а также от диэлектрических свойств среды, в которой он находится. Единица измерения электроемкости проводника в СИ называется фарад (обозначается 1 Ф): .

Расчет электроемкости уединенных проводников производится по формуле (3.6) по следующему алгоритму. Задают произвольный заряд проводника Q; пользуясь методом суперпозиции или теоремой Остроградского-Гаусса, определяют напряженность электрического поля; по известной напряженности определяют потенциал; по формуле (3.6) определяют электроемкость.

В выражении для электроемкости неизвестное значение заряда Qсокращается.

Пример. Выведем формулуэлектроемкостипроводящегошарарадиусомR, находящегося в вакууме. Для этого сообщим шару произвольный зарядQ. Заряд равномерно распределится по поверхности шара с поверхностной плотностью, которая одинакова в каждой точке поверхности шара. Этот заряд создаст электростатическое поле, напряженность которого определяется следующим образом (см. пример 1, п. 1.7):

Потенциал шара можно будет найти так:

В соответствии с (3.6) электроемкость шара

Из (3.7) видно, что электроемкость проводника 1 Ф – колоссальная величина: шар с такой электроемкостью должен иметь радиус 910⁹м, что соответствует радиусу орбиты Меркурия. Поэтому для практического измерения электроемкости проводников используются следующие единицы: 1 мкФ (микрофарад) = 10^–6Ф; 1 нФ (нанофарад) = 10^–9Ф; 1 пФ (пикофарад) = 10^–12Ф.

При определении электроемкости проводника описанным выше способом важно, чтобы вблизи него не находились другие проводники, т.е. чтобы проводник был уединенным.

Рассмотрим, как изменится электроемкость проводника, если он будет находиться рядом с незаряженным проводником. Допустим, что проводник 1обладает положительным зарядом (рис. 3.6).

В незаряженном проводнике 2произойдет разделение зарядов (электростатическая индукция) на отрицательные-q_инди положительные+q_инд, причем алгебраическая сумма индуцированных зарядов равна нулю. В электрическом поле индуцированных зарядов перераспределятся и заряды на проводнике1. В результате потенциал заряженного проводника изменится. Изменится и его электроемкость. Аналогичный вывод можно сделать и в случае, если вблизи положительно заряженного проводника располагается незаряженное диэлектрическое тело. На поверхности диэлектрика образуются связанные поляризационные заряды.

Таким образом, электроемкость проводника зависит от наличия в пространстве вблизи него любого тела (проводника или диэлектрика).

В случае если заряженные проводники располагаются таким образом, что электрическое поле существует только в пространстве между ними, то они образуют конденсатор. Сами проводники при этом называютсяобкладкамиконденсатора. Примеры расположения двух обкладок, образующих конденсаторы, приведены на рис. 3.7а,б,в.

Это, соответственно, плоский, цилиндрический и сферический конденсаторы. Плоский конденсатор создается системой двух бесконечно больших параллельных пластин площадью S, находящимися на малом расстоянииdдруг от друга (). Цилиндрический конденсатор образован двумя бесконечно длинными коаксиальными цилиндрами (), а сферический – двумя концентрическими сферами. Если обкладки каждой из этих систем зарядить разноименными одинаковыми по модулю зарядами, то электрическое поле образуется только в пространстве между ними. Модуль заряда любой из обкладок называетсязарядом конденсатора .

Электроемкостью конденсатораназывается физическая величина, равная отношению заряда конденсатора к разности потенциалов между его обкладками:

Так же, как и емкость проводника, электроемкость конденсатора не зависит ни от величины заряда конденсатора, ни от разности потенциалов между его обкладками, а зависит только от размера и формы конденсатора, а также от диэлектрических свойств среды между обкладками конденсатора. Электроемкость конденсатора не зависит от наличия вблизи него других проводящих или диэлектрических тел и электрических полей.

Поскольку электроемкость величина положительная, под зарядом конденсатора понимается взятый по модулю заряд одной из обкладок, а разность потенциалов между обкладками берется также по модулю и обозначается символом U. Обычно выражение электроемкости конденсатора записывается так:

Термин “емкость” возник еще в середине XVIII в., когда отсутствовало понятие электрических зарядов, а электрические явления описывались поведением “электрической жидкости”, которая “переливалась” из одного проводника в другой по проводам. Таким образом, емкость конденсатора определяла “количество электрической жидкости”, которое он может в себя вместить. Поэтому первый конденсатор получил название “лейденская банка” (по названию города Лейден, в котором он был сконструирован).

В качестве примера выведем формулу электроемкости плоского конденсатора, изображенного на рис. 3.7, а. Определим напряженность электростатического поля, создаваемого зарядом +Qодной из пластин площадьюS. Силовые линии такого поля изображены на рис. 3. 8.

Если рассмотреть точки пространства, расположенные настолько близко к пластине, что расстояние от них до пластины существенно меньше, чем до ее границ (из этих точек пластина будет представляться как бесконечно большая плоскость), то искривлением силовых линий у границ пластины можно пренебречь (рис. 3.9).

Таким образом, бесконечно большая заряженная плоскость создает однородное поле. Исходя из симметричности системы, модуль напряженности поля во всех точках, равноудаленных от пластины, должен быть одинаковым, а направление вектора зависит только от положения исследуемой точки пространства (слева или справа от пластины).

Определим напряженность поля в некоторой точке с координатой x, отсчитываемой вдоль осиOX, направленной перпендикулярно пластине. Для этого в качестве гауссовой поверхности выберем поверхность цилиндра, ось которого перпендикулярна плоскости, а основание имеет площадьS₁(рис. 3.10).

Модуль напряженности поля одинаков во всех точках оснований цилиндра, исходя из симметрии системы. Угол между и внешней нормалью к поверхности во всех точках боковой поверхности цилиндра равен/2во всех точках левого и правого оснований гауссова цилиндра равен0.

Определим поток напряженности поля через выбранную поверхность.

где – площадь левого основания гауссова цилиндра;– площадь правого основания гауссова цилиндра;– площадь боковой поверхности гауссова цилиндра. Получаем

Таким образом,

Определим алгебраическую сумму зарядов, охваченных поверхностью гауссова цилиндра. В данном случае электрический заряд, попавший внутрь него – это заряд “вырезанной” цилиндром части пластины. Его можно найти, умножив площадь основания цилиндра на поверхностную плотность заряда пластины:

Приравняем (3.9) и (3.10) с учетом коэффициента :

Полученное соотношение определяет модуль напряженности однородного поля бесконечно большой заряженной пластины.

Если две разноименно заряженные пластины расположить на малом расстоянии друг от друга так, чтобы выполнялось условие однородности поля каждой из них (рис. 3.11),

то напряженность поля можно будет определить по принципу суперпозиции с учетом (3.11):

E = 0 при d < x < 0.

В этом случае разность потенциалов между обкладками конденсатора можно определить так:

.

Емкость плоского конденсатора, по определению (3.8), составит

Следует учесть, что если пространство между обкладками любого конденсатора заполнить диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью , то при том же значении заряда обкладок напряженность поля между обкладками уменьшится враз. Поэтому враз уменьшится разность потенциалов между ними, а, следовательно, враз увеличится емкость конденсатора.

Запишем формулу электроемкость плоского конденсатора, заполненного диэлектриком:

Аналогично можно вывести формулу электроемкости сферического конденсатора:

.

Если конденсатор заполнен диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью , то

Подчеркнем еще раз, что электроемкость конденсатора зависит от его размера, формы обкладок и относительной диэлектрической проницаемости диэлектрика между его обкладками.