Пример 1.

Потенциальная энергия тела, находящегося на высоте h в однородном поле тяжести:

(3.12)

Потенциальная энергия отсчитывается от поверхности Земли, т.е. при , , следовательно, константа C = 0. Найдем силу, действующую на тело из соотношения (3.8):

(3.13)

Сила P называется силой тяжести, знак минус показывает, что направление силы тяжести противоположно направлению оси h.

При перемещении материальной точки из положения в положение совершается работа

(3.14)

Очевидно, что сила тяжести является консервативной, а поле тяжести потенциальным.

Пример 2.

В поле центральных сил потенциальная энергия:

(3.15)

Гравитационная сила, с которой тело массой M действует на тело массой m:

(3.16)

где - единичный вектор, проведенный из центра тяжести тела массой M в данную точку поля.

Потенциальная энергия примет вид

(3.17)

Произвольная постоянная C выбирается в данном случае таким образом, чтобы на бесконечности U(r) = 0, следовательно, C = 0. Таким образом, получим потенциальную энергию тела массой m в гравитационном поле:

(3.18)

Работа сил гравитационного поля не зависит от формы траектории тела, а определяется только координатами начальной и конечной точек:

(3.19)

поэтому гравитационная сила является консервативной.

3.4. Кинетическая энергия

Кинетической энергией называют величину, пропорциональную квадрату скорости материальной точки:

(3.20)

Найдем связь между работой результирующей всех сил , действующих на материальную точку и изменением ее кинетической энергии.

Уравнение движения частицы можно записать в виде

(3.21)

Умножим уравнение (3.21) слева и справа на перемещение частицы :

получим

(3.22)

Элементарную работу запишем в виде

(3.23)

Найдем работу, совершаемую при изменении скорости частицы от до

(3.24)

Работа результирующей всех сил, действующих на частицу, идет на приращение кинетической энергии частицы:

(3.25)

Из (3.22) следует, что в случае изолированной частицы, на которую не действуют внешние силы ( = 0), ее кинетическая энергия сохраняется:

(3.26)

3.5. Закон сохранения механической энергии системы невзаимодействующих частиц

Рассмотрим сначала одну частицу, находящуюся во внешнем поле сил. Если на частицу действуют только консервативные силы, работа не зависит от пути:

где U₁, U₂ - потенциальная энергия частицы в точках 1, 2.

Поскольку работа идет на приращение кинетической энергии, то , поэтому

(3.27)

Отсюда следует, что сохраняется полная механическая энергия для отдельной частицы:

(3.28)

Пусть теперь во внешнем поле имеется система частиц, которые не взаимодействуют друг с другом. Полная кинетическая энергия системы

(3.29)

а полная потенциальная энергия всех частиц равна

(3.30)

Тогда получим

(3.31)

На основании всего вышесказанного выведем следующий закон сохранения энергия для механической системы невзаимодействующих частиц:

еханическая энергия системы невзаимодействующих частиц, на которые действуют только консервативные силы, остается постоянной.

3.6. Закон сохранения полной механической энергии

П усть замкнутая система состоит из двух взаимодействующих друг с другом частиц. В соответствии с третьим законом Ньютона:

,

г

Pис. 3.5.

де – внутренние силы, действующие на частицу со стороны другой частицы.

Введем вектор , где и - радиус-векторы частиц (рис. 3.5).

Запишем уравнения движения частиц:

,

. (3.32)

Умножим первое из этих уравнений на , а второе на и сложим уравнения

(3.33)

Левая часть этого соотношения - приращение кинетической энергии, а правая - приращение работы:

отсюда находим

(3.34)

Здесь называется потенциальной энергией взаимодействия и зависит от расстояния между частицами. Для двух частиц, движущихся со скоростями и :

(3.35)

Потенциальную энергию взаимодействия в этом случае можно рассматривать как потенциальную энергию U одной частицы, находящейся в поле сил другой частицы.

Рассмотрим теперь систему, состоящую из n частиц, взаимодействующих с силами .

Уравнение движения i-той частицы

. (3.36)

Если на частицу действует внешняя консервативная сила тогда уравнение движения примет вид

(3.37)

Умножим (3.37) на и сложим все уравнения, находим

.

отсюда следует, что полная механическая энергия сохраняется

(3.38)

Закон сохранения полной механической энергии системы можно сформулировать следующим образом: Полная механическая энергия системы тел, на которые действуют только консервативные силы, остается постоянной.