19.5. Связь между энергией и импульсом

Возведем (10.12) и (10.17) в квадрат, находим

, (19.23)

откуда

. (19.24)

Энергия, выраженная через импульс, называется функцией Гамильтона

. (19.25)

Запишем еще одно соотношение между энергией и импульсом:

(19.26)

Если V c, то p и E , отсюда следует, что m 0. Таким образом, частица с массой покоя, отличной от нуля, не может двигаться со скоростью света.

Существуют частицы - фотоны, с массой покоя, равной нулю. Импульс для этих частиц записывается в виде

(19.27)

Энергия кванта света - фотона записывается в виде

, (19.28)

где - частота электромагнитного излучения;

- постоянная Планка, равная 10 Д .

Из (10.26) получим импульс безмассовой частицы

(19.29)

где - волновое число,

- длина волны.

Кинетическая энергия релятивистской частицы есть полная энергия W за вычетом энергии покоя:

(19.30)

Кинетическая энергия связана с импульсом соотношением

. (19.31)

19.6. Четырехмерные векторы

Координаты точки в четырехмерном пространстве (ct, x, y, z) можно рассматривать как компоненты четырехмерного радиус-вектора , где i = 0,1,2,3:

, , . (19.32)

Четырехмерным вектором скорости называется безразмерный вектор

(19.33)

где - дифференциал действия.

Компоненты 4-скорости

, (19.34)

4-вектором импульса называется величина

, i = 0, 1, 2, 3 , (19.35)

где

, , . (19.36)

Здесь - величина, пропорциональная энергии частицы.

4-вектор ускорения:

. (19.37)

4-вектор силы:

, (19.38)

где - четырехмерная внешняя сила.

19.7. Законы сохранения в релятивистской механике

Пусть n ,первоначально изолированных тел, с суммарным 4 -импульсом , вступают во взаимодействие, после чего появляются n' новых тел с суммарным импульсом , тогда, в силу закона сохранения 4-импульса

. (19.39)

В частности, выполняется закон сохранения энергии

. (19.40)

Сумма масс взаимодействующих частиц не сохраняется, но полная масса замкнутой системы остается неизменной.

Так, например, в процессе взаимодействия электрона и позитрона появляются две безмассовые частицы – фотоны:

. (19.41)

В процессе распада – мезона также появляются два фотона:

. (19.42)

В распаде урана его масса больше сумм масс покоя осколков, разность масс выделяется в виде кинетической энергии

. (19.43)

где - энергия связи, выделяющаяся при распаде ядра.

Запишем законы сохранения энергии и импульса при рассеянии света на свободных электронах (рис.19.2).

,

(19.44)

которые, в случае первоначально покоящегося электрона, имеют вид

, (19.45)

.

Рис.19.2.

После ряда преобразований получим зависимость изменения длины волны рассеянного фотона от угла рассеяния (эффект Комптона)

, (19.46)

где - комптоновская длина волны электрона.

Комптон Артур Холли (1892 – 1962), американский физик, родился в Вустере (Огайо), окончил Принстонский ун-т.

Работы посвящены атомной и ядерной физике. Открыл явление изменения длины волны рентгеновского излучения, вследствие рассеяния его электронами вещества (эффект Комптона). Первым пришел к идее наличия спина у элементарных частиц.