1.2. Кинематика вращательного движения материальной точки

Помимо линейных характеристик движения: линейной скорости  и линейных ускорений a_, a_n при движении материальной точки по окружности вводят угловые характеристики движения:  - угловую скорость,  - угловое ускорение.

1. Угол поворота. Пусть тело повернулось на угол . Поворот тела можно задать в виде псевдовектора , длина которого равна углу , а направление совпадает с осью вращения в сторону, определяемую правилом правого винта. Малые повороты можно рассматривать как псевдовектор d.

2. Угловая скорость. Мгновенная угловая скорость равна производной по времени от угла поворота :

(1.15)

Вектор направлен вдоль оси вращения материальной точки по правилу правого винта (рис. 1.7).

Рис. 1.7.

При равномерном вращении угловая скорость

(1.16)

Размерность угловой скорости: [] = рад/с.

3. Угловое ускорение. Мгновенным угловым ускорением называется псевдовектор , равный первой производной от вектора угловой скорости :

(1.17)

Вектор  направлен вдоль оси вращения материальной точки. Размерность углового ускорения: [] = рад/с.

Поскольку угловая скорость является первой производной от угла поворота (1.15), то угловое ускорение можно записать как вторую производную от угла поворота:

(1.18)

4. Период обращения. Время совершения материальной точкой полного оборота называется периодом обращения:

(1.19)

Размерность периода обращения: [T] = с. Число оборотов в единицу времени называется частотой:

(1.20)

Размерность частоты: [n] = 1/с.

5. Уравнения кинематики вращательного движения материальной точки. Запишем угол поворота  и угловую скорость  при неравномерном вращательном движении:

(1.21)

где - начальный угол;

- начальная угловая скорость;

- угловое ускорение.

При равномерном движении  = 0. Уравнения кинематики вращательного движения принимают вид

(1.22)

6. Связь между характеристиками поступательного и вращательного движения. Линейная скорость  связана с угловой скоростью  соотношением (формула Эйлера)

(1.23)

Тангенциальное ускорение связано с угловым ускорением формулой

(1.24)

Нормальное ускорение связано с угловой скоростью  соотношением

(1.25)

Контрольные вопросы:

1. Перемещение, путь.

2. Мгновенная и средняя скорость, средняя путевая скорость.

3. Мгновенное и среднее ускорение.

4. Тангенциальное, нормальное и полное ускорение.

5. Угол поворота, мгновенная угловая скорость и средняя угловая скорость.

6. Уравнения кинематики поступательного и вращательного движений

Глава 2. Динамика материальной точки и поступательного движения твёрдого тела

2.1. Принцип относительности Галилея

Движение можно обнаружить только в том случае, если имеются неподвижные друг относительно друга тела, образующие систему отсчета.

Если на двух соседних путях у вокзала стоят поезда, и один из них отошел от станции, то пассажиры, глядя только на соседний поезд, не могут определить, какой поезд пришел в движение. Лишь посмотрев на здание вокзала или другие строения, образующие неподвижную систему отсчета, можно ответить на вопрос, какой из поездов движется.

Любая система только относительно может считаться неподвижной. Так, система отсчета, связанная с Землей, является неподвижной, если не учитывать движение Земли вокруг Солнца и вращение вокруг собственной оси.

Движение относительно разных систем отсчета может носить различный характер. Так, если движение пассажира относительно вагона поезда является равномерным, то относительно здания вокзала пассажир отходящего поезда может двигаться ускоренно.

Чтобы описать движение, необходимо указать координаты, а также скорость тела в каждый момент времени.

В качестве системы отсчета, в которой изучается движение тела, может быть выбрана любая система. Выбор системы определяется требованием, чтобы законы механики записывались наиболее просто. Движение тела в разных системах может происходить по разным законам. Но существуют такие системы, при переходе между которыми не изменяются законы механики. Эти системы называются инерциальными системами отсчета (И.С.О.).

Инерциальной является система, движущаяся прямолинейно и равномерно. Таких систем существует бесконечно много, т.к. любая система, движущаяся прямолинейно и равномерно относительно инерциальной системы, также является инерциальной. Координаты и скорость тела являются относительными, т.к. изменяются при переходе из одной инерциальной системы в другую, но ускорение остается неизменным.

Рассмотрим две И.С.О., у которых совпадают оси абсцисс. Точка М движется относительно обеих систем. Система K является условно неподвижной, а система K' движется прямолинейно и равномерно со скоростью ux (рис. 2.1).

Преобразование координат

Пусть известны координаты ( точки М в движущейся системе отсчета K'. Найдем ее координаты в неподвижной системе отсчета K:

(2.1)

где – расстояние, пройденное системой K' вдоль оси х за время t.

Рис. 2.1.

Получим преобразование координат:

(2.2)

Координаты точки М не являются абсолютными, т.к. различны в системах K и K'.

Преобразование скоростей

Продифференцируем преобразование координат по времени:

(2.3)

Запишем эти выражения в виде:

Закон сложения скоростей Галилея в векторной форме:

(2.4)

Геометрическая сумма относительной скорости и переносной скорости равна абсолютной скорости .

Механический принцип относительности Галилея

Продифференцируем преобразования скоростей по времени. Поскольку скорость движения системы K' является постоянной, то

Получим преобразование

(2.5)

Запишем (2.5) в виде

(2.6)

В векторной форме получим . Ускорение точки М относительно систем K и K' одинаково, следовательно, является абсолютной величиной. Ускорение и сила являются инвариантными при переходе из одной инерциальной системы к другой. Отсюда следует, что один и тот же опыт, проведенный в различных инерциальных системах отсчета, дает один и тот же результат. Следовательно, механический принцип относительности Галилея можно охарактеризовать следующим образом:

Механические явления при одних и тех же начальных условиях протекают одинаково в различных инерциальных системах отсчета.

Галилео Галилей (1564 - 1642), итальянский физик и астроном, окончил университет г. Пиза. Галилей установил закон инерции (1609), законы свободного падения, движения тела по наклонной плоскости и тела, брошенного под углом к горизонту (1604 – 1609), открыл закон сложения скоростей и закон постоянства периода колебаний маятника. Галилея можно считать изобретателем телескопа, его астрономические открытия убеждали в правильности учения Коперника.