12.3. Применение теоремы Остроградского - Гаусса для расчета электростатического поля бесконечной заряженной плоскости

Найдем напряженность электрического поля бесконечной равномерно заряженной плоскости с поверхностной плотностью заряда . Пусть  > 0, т.е. плоскость заряжена положительно. Силовые линии напряженности электрического поля направлены симметрично в обе стороны от плоскости, перпендикулярно к ней (рис. 12.3). Проведем замкнутую цилиндрическую поверхность перпендикулярную плоскости так, чтобы цилиндр вырезал круг площадью S. Основания цилиндра параллельны плоскости и имеют площадь S. В любой точке основания цилиндра вектор dS направлен перпендикулярно к основанию и совпадает по направлению с вектором E. В любой точке боковой поверхности вектор dS перпендикулярен к вектору E. Полный поток через замкнутую поверхность состоит из потока через два основания и потока через боковую поверхность

(12.12)

Рис. 12.3.

(12.13)

П

152

оток через боковую поверхность т.к. вектор E перпендикулярен вектору dS, поэтому полный поток Ф_E = Ф₁ = 2ES. Из теоремы Остроградского - Гаусса находим: поскольку заряд на поверхности S, вырезанной цилиндром: . Найдем напряженность бесконечной плоскости:

(12.14)

Поле бесконечной заряженной плоскости является однородным, оно одинаково во всех точках пространства и не зависит от расстояния до плоскости.

12.4. Применение теоремы Остроградского - Гаусса для расчета электростатического поля бесконечного заряженного цилиндра

Пусть бесконечный цилиндр радиуса R равномерно заряжен с линейной плотностью заряда  > 0, что соответствует положительно заряженному цилиндру. Силовые линии электрического поля направлены в любой точке вне цилиндра по радиальным линиям (рис. 12.4). Найдем напряженность поля вне цилиндра, на расстоянии r > R от его оси. Проведем вспомогательную цилиндрическую поверхность длиной l и радиусом r, которая охватывает цилиндрический проводник. В любой точке поверхности вектор E направлен вдоль вектора . Рассмотрим элемент проводника длиной dl. Заряд, заключенный на поверхности элементарного цилиндра радиуса R:

(12.15)

Найдем поток вектора E через боковую поверхность вспомогательного цилиндра S':

(12.16)

Согласно теореме Остроградского - Гаусса

(12.17)

следовательно отсюда находим напряженность электрического поля вне цилиндра:

(12.18)

Выразим напряженность поля через линейную плотность заряда :

(12.19)

Внутри цилиндра напряженность поля E = 0, т.к. заряды равномерно распределяются по поверхности. Вне цилиндра напряженность электрического поля изменяется обратно пропорционально r и совпадает по величине с напряженностью поля бесконечной заряженной нити, расположенной вдоль оси цилиндра.

Рис. 12.4.

Г 153 лава 13. Работа электрического поля. Потенциал.

13.1. Работа электрического поля по перемещению заряда

На точечный электрический заряд q', помещенный в электрическое поле с напряженностью E действует сила:

(13.1)

При перемещении заряда q' на элементарную длину dl сила F совершает элементарную работу:

(13.2)

где - угол между вектором F и вектором перемещения dl.

Если точечный заряд q' находится в поле другого точечного заряда q, то на заряд q' действует сила:

(13.3)

Электрическое поле совершает работу:

(13.4)

Проекция перемещения dl на направление радиус-вектора r (рис. 13.1).

(13.5)

Элементарную работу запишем в виде

(13.6)

Проинтегрируем по всему пути от точки 1 до точки 2:

(13.7)

Это означает, что полная работа не зависит от пути, пройденного из точки 1 в точку 2, а определяется только координатами начальной и конечной точек. Силовое поле, в котором работа по перемещению из одной точки в другую не зависит от пути перехода, называется потенциальным полем. Сила кулоновского взаимодействия является консервативной силой. Работа консервативных сил на замкнутом пути равна нулю:

Рис. 13.1.

(13.8)

Отсюда следует, что циркуляция вектора напряженности E по контуру Г равна нулю:

(13.9)

Электрическое поле является потенциальным. Для характеристики потенциального поля вводятся потенциальная энергия W и потенциал .